Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, нам нужно сначала понять, что эта площадь состоит из трех треугольников, которые являются боковыми гранями пирамиды.

Для начала, давайте обозначим некоторые параметры:

• Боковое ребро пирамиды (OB) равно 5 см.
• Высота треугольной грани (h) равна корень из 13 см.

Каждая боковая грань пирамиды является равнобедренным треугольником, где:

• Основание треугольника – это сторона основания правильного треугольника.
• Два боковых ребра – это боковые ребра пирамиды.

Сначала найдем длину основания боковой грани. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора. В равнобедренном треугольнике, где высота (h) делит основание пополам, мы можем выразить половину основания (a/2) через высоту и боковое ребро:

1. По теореме Пифагора: (OB)^2 = (h)^2 + (a/2)^2.
2. Подставим известные значения: 5^2 = (корень из 13)^2 + (a/2)^2.
3. Это дает: 25 = 13 + (a/2)^2.
4. Теперь вычтем 13 из обеих сторон: 25 - 13 = (a/2)^2.
5. Получаем: 12 = (a/2)^2.
6. Теперь возьмем квадратный корень: a/2 = корень из 12 = 2 * корень из 3.
7. Следовательно, a = 4 * корень из 3.

Теперь мы можем найти площадь одной боковой грани. Площадь треугольника рассчитывается по формуле:

Площадь = (1/2) * основание * высота.

Подставляем значения:

1. Площадь = (1/2) * (4 * корень из 3) * (корень из 13).
2. Площадь = 2 * корень из 3 * корень из 13 = 2 * корень из (3 * 13) = 2 * корень из 39.

Так как у нас три боковые грани, общая площадь боковой поверхности будет равна:

Общая площадь = 3 * (2 * корень из 39) = 6 * корень из 39.

Ответ: Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна 6 * корень из 39 см².