Чтобы найти угол между боковым ребром правильной треугольной пирамиды и плоскостью её основания, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Определим необходимые элементы пирамиды:
   • Сторона основания треугольной пирамиды равна 9.
   • Длина бокового ребра равна 6.
2. Найдем высоту треугольника основания:
   • Основание пирамиды является равносторонним треугольником со стороной 9.
   • Высота равностороннего треугольника может быть найдена по формуле: h = (sqrt(3)/2) * a, где a - длина стороны треугольника.
   • Подставляем значение: h = (sqrt(3)/2) * 9 = 4.5 * sqrt(3).
3. Найдём расстояние от вершины основания до центра основания:
   • Центр равностороннего треугольника находится на расстоянии (sqrt(3)/3) * a от любой из вершин.
   • Таким образом, расстояние до центра: d = (sqrt(3)/3) * 9 = 3 * sqrt(3).
4. Теперь можем использовать теорему Пифагора:
   • Обозначим угол между боковым ребром и высотой, проведенной из вершины пирамиды к центру основания, как α.
   • У нас есть треугольник, где:
     • Одна сторона - высота пирамиды (h = 4.5 * sqrt(3)),
     • Другая сторона - расстояние от вершины основания до центра (d = 3 * sqrt(3)),
     • Гипотенуза - боковое ребро (6).
   • По теореме Пифагора: (боковое ребро)^2 = (высота)^2 + (расстояние)^2.
5. Теперь найдем угол α:
   • Используем тригонометрические функции: cos(α) = (высота) / (боковое ребро).
   • Подставляем значения: cos(α) = (4.5 * sqrt(3)) / 6.
   • Упрощаем: cos(α) = (4.5 / 6) * sqrt(3) = 0.75 * sqrt(3).
   • Теперь находим угол α: α = arccos(0.75 * sqrt(3)).

Теперь мы можем вычислить значение угла α в градусах с помощью калькулятора. После вычислений мы получим, что угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания равен приблизительно 30 градусов.