Давайте решим задачу шаг за шагом.

Часть 1: Упрощение выражения

Нам нужно упростить выражение: 2tg a / (1 - tg²a) * 2cos2a.

1. Сначала упростим 2cos2a. Мы знаем, что cos2a = cos²a - sin²a. Также, используя формулу двойного угла, можно выразить cos2a через tg a:
• cos2a = 1 - 2sin²a = 2cos²a - 1.
• Так что 2cos2a = 2(1 - 2sin²a) = 2 - 4sin²a.
2. Теперь заменим tg a на sin a / cos a:
• tg a = sin a / cos a.
3. Теперь у нас есть выражение:
• 2 * (sin a / cos a) / (1 - (sin²a / cos²a)) * 2cos2a.
4. Упрощаем знаменатель:
• 1 - (sin²a / cos²a) = (cos²a - sin²a) / cos²a = cos2a / cos²a.
5. Теперь подставим это в наше выражение:
• 2 * (sin a / cos a) / (cos2a / cos²a) * 2cos2a.
6. Упрощаем:
• 2 * sin a * cos²a / cos a * 2cos2a = 4sin a * cos a.

Таким образом, упрощенное выражение равно 4sin a * cos a.

Часть 2: Нахождение sin a, cos a и ctg a

Дано: ctg(a/2) = 2. Мы знаем, что:

• ctg(a/2) = cos(a/2) / sin(a/2).

Если ctg(a/2) = 2, это означает, что:

• cos(a/2) = 2 * sin(a/2).

Согласно тригонометрическим тождествам, мы можем использовать формулу:

• sin²(a/2) + cos²(a/2) = 1.

Подставим cos(a/2) в это уравнение:

• sin²(a/2) + (2sin(a/2))² = 1.

Это дает:

• sin²(a/2) + 4sin²(a/2) = 1.
• 5sin²(a/2) = 1.
• sin²(a/2) = 1/5.
• sin(a/2) = 1/√5.

Теперь найдем cos(a/2):

• cos(a/2) = 2 * sin(a/2) = 2 * (1/√5) = 2/√5.

Теперь мы можем найти sin a и cos a, используя формулы:

• sin a = 2 * sin(a/2) * cos(a/2) = 2 * (1/√5) * (2/√5) = 4/5.
• cos a = cos²(a/2) - sin²(a/2) = (2/√5)² - (1/√5)² = 4/5 - 1/5 = 3/5.

Теперь найдем ctg a:

• ctg a = cos a / sin a = (3/5) / (4/5) = 3/4.

Ответ:

• sin a = 4/5;
• cos a = 3/5;
• ctg a = 3/4.

Таким образом, мы завершили решение задачи!