Помогите решить уравнение:

7sinx + 2cos2x - 5 = 0

Математика 10 класс Тригонометрические уравнения уравнение решение уравнения математика 10 класс тригонометрические функции синус косинус алгебра математические задачи Новый

Давайте решим уравнение: 7sin(x) + 2cos(2x) - 5 = 0.

Первым шагом мы можем выразить cos(2x) через sin(x) с помощью тригонометрической формулы:

• cos(2x) = 1 - 2sin²(x).

Теперь подставим это выражение в уравнение:

7sin(x) + 2(1 - 2sin²(x)) - 5 = 0.

Раскроем скобки:

7sin(x) + 2 - 4sin²(x) - 5 = 0.

Упростим уравнение:

-4sin²(x) + 7sin(x) - 3 = 0.

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно sin(x). Перепишем его в стандартной форме:

4sin²(x) - 7sin(x) + 3 = 0.

Для решения квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:

• D = b² - 4ac, где a = 4, b = -7, c = 3.

Посчитаем дискриминант:

D = (-7)² - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1.

Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня. Найдем их с помощью формулы корней:

• sin(x) = ( -b ± √D ) / 2a.

Подставим значения:

sin(x) = (7 ± √1) / (2 * 4) = (7 ± 1) / 8.

Таким образом, получаем два значения:

• sin(x) = (7 + 1) / 8 = 8 / 8 = 1,
• sin(x) = (7 - 1) / 8 = 6 / 8 = 3 / 4.

Теперь решим каждое из полученных значений.

1. Для sin(x) = 1:

• x = π/2 + 2kπ, где k - любое целое число.

2. Для sin(x) = 3/4:

• x = arcsin(3/4) + 2kπ и x = π - arcsin(3/4) + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, окончательные решения уравнения:

• x = π/2 + 2kπ,
• x = arcsin(3/4) + 2kπ,
• x = π - arcsin(3/4) + 2kπ.

Не забудьте, что k - любое целое число.