Пожалуйста, решите однородное тригонометрическое уравнение: sin²(2x) - 5sin(2x) * cos(2x) + 6cos²(2x) = 0.

Математика 10 класс Тригонометрические уравнения тригонометрическое уравнение решение уравнения 10 класс математика синус косинус однородное уравнение математические задачи Новый

Для решения однородного тригонометрического уравнения sin²(2x) - 5sin(2x) * cos(2x) + 6cos²(2x) = 0 мы начнем с замены тригонометрических функций.

Обозначим y = sin(2x) и z = cos(2x). Поскольку sin²(2x) + cos²(2x) = 1, мы можем выразить cos(2x) через sin(2x): cos²(2x) = 1 - sin²(2x). Таким образом, уравнение можно переписать в следующем виде:

Подставим cos²(2x) в уравнение:

y² - 5yz + 6(1 - y²) = 0

Упростим уравнение:

y² - 5yz + 6 - 6y² = 0

-5y² - 5yz + 6 = 0

5y² + 5yz - 6 = 0

Теперь разделим все уравнение на 5:

y² + yz - 6/5 = 0

Это квадратное уравнение относительно y. Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = z, c = -6/5.

Находим дискриминант:

D = z² - 4 * 1 * (-6/5) = z² + 24/5

Теперь подставим значения в формулу корней:

y = (-z ± √(z² + 24/5)) / 2

Теперь вернемся к тригонометрическим функциям, подставим y = sin(2x) и z = cos(2x).

Мы можем решить это уравнение, но также заметим, что у нас есть два случая для sin(2x) и cos(2x).

Теперь мы можем решить для 2x:

1. Решите уравнение для sin(2x) и cos(2x) отдельно.
2. Используйте основное тригонометрическое уравнение sin²(2x) + cos²(2x) = 1 для нахождения значений.
3. Найдите x из 2x = arcsin(y) и 2x = arccos(z).

После нахождения всех возможных значений x, не забудьте учесть периодичность тригонометрических функций, добавив kπ/2 (где k - целое число) к найденным значениям.

Таким образом, получаем полный набор решений для исходного уравнения. Если у вас остались вопросы или нужны уточнения, не стесняйтесь спрашивать!