Для решения системы уравнений методом Гаусса, начнем с представления системы в виде расширенной матрицы. Наша система уравнений выглядит так:

• 2x - y - z = 14
• 3x + 4y - 2z = 11
• 3x - 2y + 4z = 11

Теперь запишем эту систему в виде расширенной матрицы:

[ 2 -1 -1 | 14 ]

[ 3 4 -2 | 11 ]

[ 3 -2 4 | 11 ]

Теперь мы будем использовать элементарные преобразования строк, чтобы привести матрицу к верхнетреугольному виду.

1. Первым делом, сделаем нуль под первым элементом (2) в первой строке. Для этого вычтем 3/2 первой строки из второй и третьей строк:
• Вторая строка: (3 - 3/2*2) + (4 - 3/2*(-1)) + (-2 - 3/2*(-1)) | (11 - 3/2*14)
• Третья строка: (3 - 3/2*2) + (-2 - 3/2*(-1)) + (4 - 3/2*(-1)) | (11 - 3/2*14)
2. После вычислений получаем:
• Вторая строка: 0 6.5 0.5 | -11
• Третья строка: 0 0.5 5 | -11
3. Теперь у нас есть такая матрица:

[ 2 -1 -1 | 14 ]

[ 0 6.5 0.5 | -11 ]

[ 0 0.5 5 | -11 ]

4. Теперь сделаем нуль под вторым элементом (6.5) в третьей строке. Для этого умножим вторую строку на 1/6.5:
• Вторая строка: 0 1 0.0769 | -1.6923
• Третья строка: 0 0 4.6154 | -7.1538
5. Теперь у нас есть:

[ 2 -1 -1 | 14 ]

[ 0 1 0.0769 | -1.6923 ]

[ 0 0 4.6154 | -7.1538 ]

6. Теперь, чтобы получить значение z, мы можем выразить его из третьей строки:
• 4.6154z = -7.1538
• z = -7.1538 / 4.6154 = -1.55
7. Теперь подставим значение z в уравнение второй строки, чтобы найти y:
• y + 0.0769(-1.55) = -1.6923
• y - 0.1192 = -1.6923
• y = -1.6923 + 0.1192 = -1.5731
8. Теперь подставим значения y и z в первое уравнение, чтобы найти x:
• 2x - (-1.5731) - (-1.55) = 14
• 2x + 1.5731 + 1.55 = 14
• 2x + 3.1231 = 14
• 2x = 14 - 3.1231
• 2x = 10.8769
• x = 10.8769 / 2 = 5.43845

Таким образом, мы получили решение системы:

• x ≈ 5.44
• y ≈ -1.57
• z ≈ -1.55