Сумма двух натуральных чисел в шесть раз превышает их наибольший общий делитель. Во сколько раз больше наибольшее число, чем наименьшее?

Математика 10 класс Наибольший общий делитель и его свойства сумма натуральных чисел наибольший общий делитель математическая задача сравнение чисел решение задачи арифметика свойства чисел Новый

Давайте обозначим два натуральных числа как A и B, где A > B. Из условия задачи нам известно, что сумма этих чисел в шесть раз превышает их наибольший общий делитель (НОД). Обозначим НОД(A, B) как d. Тогда мы можем записать следующее уравнение:

A + B = 6d

Теперь вспомним, что для любых двух натуральных чисел A и B, их НОД можно выразить через произведение этих чисел и их наименьшее общее кратное (НОК):

НОД(A, B) * НОК(A, B) = A * B

Из этого уравнения мы можем выразить НОК:

НОК(A, B) = (A * B) / d

Теперь, чтобы понять, во сколько раз больше наибольшее число (A) чем наименьшее (B), нам нужно найти отношение A к B. Мы можем выразить A через B, используя НОД:

Поскольку A и B имеют общий делитель d, мы можем записать:

A = kd, B = md

где k и m - натуральные числа, не имеющие общих делителей (то есть НОД(k, m) = 1).

Теперь подставим A и B в уравнение суммы:

kd + md = 6d

Вынесем d за скобки:

d(k + m) = 6d

Теперь, если d не равно нулю, можем разделить обе стороны на d:

k + m = 6

Теперь нам нужно найти отношение A к B:

A/B = (kd) / (md) = k/m

Так как k + m = 6, мы можем выразить m через k:

m = 6 - k

Теперь подставим это значение в отношение:

A/B = k/(6 - k)

Теперь давайте рассмотрим возможные целые значения для k. Поскольку k и m - натуральные числа, k может принимать значения от 1 до 5:

• Если k = 1, m = 5: A/B = 1/5
• Если k = 2, m = 4: A/B = 2/4 = 1/2
• Если k = 3, m = 3: A/B = 3/3 = 1
• Если k = 4, m = 2: A/B = 4/2 = 2
• Если k = 5, m = 1: A/B = 5/1 = 5

Из этого анализа видно, что отношение A к B может принимать значения 1/5, 1/2, 1, 2 и 5. Таким образом, наибольшее число может быть в 5 раз больше наименьшего, когда k = 5 и m = 1.

Ответ: Наибольшее число в 5 раз больше наименьшего.