Рассмотрим задачу о трехзначном числе N, которое имеет три натуральных делителя. Это число может быть либо квадратом простого числа, либо произведением двух различных простых чисел. Давайте разберем оба случая.

• где p — простое число.
• Чтобы N было трехзначным, p должно быть таким, что p^2 находится в диапазоне от 100 до 999.

Находим границы для p:

• sqrt(100) = 10, sqrt(999) ≈ 31.6

Таким образом, p может принимать значения от 11 до 31. Проверим все простые числа в этом диапазоне:

• 11^2 = 121
• 13^2 = 169
• 17^2 = 289
• 19^2 = 361
• 23^2 = 529
• 29^2 = 841
• 31^2 = 961

Все эти числа имеют 3 делителя: 1, p и p^2.

• где p и q — различные простые числа.
• В этом случае число N будет иметь 4 делителя: 1, p, q и pq.
• Таким образом, этот случай не подходит, так как нам нужно, чтобы N имело именно 3 делителя.

Число, полученное при записи N дважды подряд, можно представить как 1000N + N = 1001N.

У нас есть условие, что 1001N имеет 16 делителей. Давайте разберем число 1001:

• 1001 = 7 * 11 * 13.
• Число 1001 имеет (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8 делителей.

Если N имеет 3 делителя, то общее количество делителей числа 1001N будет равно (количество делителей 1001) * (количество делителей N) = 8 * 3 = 24. Это не соответствует условию, что 1001N должно иметь 16 делителей.

Таким образом, единственным вариантом для N остается случай, когда N является квадратом простого числа. Перечислим найденные числа:

• 121
• 169
• 289
• 361
• 529
• 841
• 961

Итак, все возможные варианты исходного числа N, которое имеет три делителя и при записи дважды подряд дает число с 16 делителями, это: 121, 169, 289, 361, 529, 841, 961.