В кубе АВСDA1B1C1D1 какой угол образуют прямые АВ1 и СА1?

Математика 10 класс Геометрия в пространстве угол между прямыми куб АВСDA1B1C1D1 прямые АВ1 и СА1 геометрия свойства куба векторы в пространстве Новый

Чтобы найти угол между прямыми АВ1 и СА1 в кубе ABCDA1B1C1D1, давайте сначала определим координаты всех вершин куба. Предположим, что куб расположен в трехмерном пространстве следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(1, 1, 1)
• D1(0, 1, 1)

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым АВ1 и СА1:

• Вектор АВ1: от точки A до точки B1. Его координаты можно найти следующим образом:

Вектор АВ1 = B1 - A = (1, 0, 1) - (0, 0, 0) = (1, 0, 1).

• Вектор СА1: от точки C до точки A1. Его координаты:

Вектор СА1 = A1 - C = (0, 0, 1) - (1, 1, 0) = (-1, -1, 1).

Теперь у нас есть два вектора:

• Вектор АВ1 = (1, 0, 1)
• Вектор СА1 = (-1, -1, 1)

Для нахождения угла между двумя векторами мы используем формулу:

cos(θ) = (AВ1 ⋅ СА1) / (|AВ1| * |СА1|),

где "⋅" обозначает скалярное произведение, а |AВ1| и |СА1| - длины векторов.

Сначала найдем скалярное произведение:

AВ1 ⋅ СА1 = (1)(-1) + (0)(-1) + (1)(1) = -1 + 0 + 1 = 0.

Теперь найдем длины векторов:

|AВ1| = sqrt(1^2 + 0^2 + 1^2) = sqrt(2),

|СА1| = sqrt((-1)^2 + (-1)^2 + 1^2) = sqrt(3).

Теперь подставим значения в формулу для cos(θ):

cos(θ) = 0 / (sqrt(2) * sqrt(3)) = 0.

Так как cos(θ) = 0, это означает, что угол θ равен 90 градусам.

Ответ: Угол между прямыми АВ1 и СА1 составляет 90 градусов.