В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, где все ребра равны 1, как можно определить расстояние между прямыми AB и B1C1?

Математика 10 класс Расстояние между прямыми в пространстве правильная треугольная призма расстояние между прямыми AB B1C1 математические задачи геометрия свойства призмы 10 класс решение задачи векторы Новый

Чтобы найти расстояние между прямыми AB и B1C1 в правильной треугольной призме, давайте сначала определим основные характеристики этой призмы.

Правильная треугольная призма состоит из двух равносторонних треугольников (оснований) и трех прямоугольников (боковых граней). В нашем случае все ребра равны 1, значит:

• Стороны основания треугольника ABC равны 1.
• Все боковые ребра A1B1, B1C1 и A1C1 также равны 1.

Теперь давайте определим координаты вершин призмы:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(0.5, sqrt(3)/2, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(0.5, sqrt(3)/2, 1)

Теперь мы можем описать прямые AB и B1C1:

• Прямая AB проходит через точки A и B.
• Прямая B1C1 проходит через точки B1 и C1.

Определим векторы, которые описывают эти прямые:

• Вектор AB: (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0)
• Вектор B1C1: (0.5, sqrt(3)/2, 1) - (1, 0, 1) = (-0.5, sqrt(3)/2, 0)

Чтобы найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, можно использовать формулу:

Расстояние = |(P1 - P2) · (n)| / |n|, где:

• P1 - точка на первой прямой (например, A)
• P2 - точка на второй прямой (например, B1)
• n - вектор, перпендикулярный обеим прямым, который можно найти как векторное произведение векторов AB и B1C1.

Сначала найдем векторное произведение:

• v1 = (1, 0, 0)
• v2 = (-0.5, sqrt(3)/2, 0)

Векторное произведение v1 × v2 будет равно:

• (0, 0, 1) × (0, sqrt(3)/2, 0) = (0, 0, 1*sqrt(3)/2 - 0*0) = (0, 0, sqrt(3)/2)

Теперь найдем модуль вектора n:

|n| = sqrt(0^2 + 0^2 + (sqrt(3)/2)^2) = sqrt(3)/2

Теперь найдем вектор P1 - P2:

• P1 - P2 = A - B1 = (0, 0, 0) - (1, 0, 1) = (-1, 0, -1)

Теперь подставим значения в формулу для расстояния:

Расстояние = |(-1, 0, -1) · (0, 0, sqrt(3)/2)| / (sqrt(3)/2)

Скалярное произведение равно:

= |0 + 0 - 1*sqrt(3)/2| / (sqrt(3)/2) = sqrt(3)/2 / (sqrt(3)/2) = 1

Таким образом, расстояние между прямыми AB и B1C1 равно 1.