В прямоугольном треугольнике с острым углом α катеты равны 5cos α и sin α. Как найти квадрат меньшего катета? Ответ выразите в виде несократимой обыкновенной дроби.

Математика 10 класс Треугольники прямоугольный треугольник острый угол α катеты 5cos α sin α квадрат меньшего катета обыкновенная дробь Новый

Для решения задачи начнем с определения катетов прямоугольного треугольника. У нас есть острый угол α, и катеты равны:

• первый катет: 5cos α,
• второй катет: sin α.

Теперь нам нужно определить, какой из катетов меньше, чтобы найти квадрат меньшего катета.

Сравним катеты:

• 5cos α,
• sin α.

Чтобы сравнить их, мы можем использовать неравенство:

5cos α < sin α.

Перепишем это неравенство:

5 < sin α / cos α.

Так как sin α / cos α = tan α, мы можем записать:

5 < tan α.

Это неравенство верно, если α находится в пределах (0, π/4), так как в этом диапазоне тангенс угла возрастает и при угле α = π/4 равно 1. Следовательно, для углов α, меньших π/4, 5 будет больше tan α, и мы можем утверждать, что:

sin α < 5cos α.

Таким образом, меньший катет - это sin α.

Теперь найдем квадрат меньшего катета:

(sin α)².

Согласно тригонометрическим соотношениям, мы можем выразить sin α через cos α. Используем основное тригонометрическое тождество:

sin² α + cos² α = 1.

Таким образом, мы можем выразить sin² α как:

sin² α = 1 - cos² α.

Теперь выразим cos α через катеты. У нас есть:

cos α = (меньший катет) / (гипотенуза).

Гипотенуза в нашем случае будет равна:

гипотенуза = √((5cos α)² + (sin α)²) = √(25cos² α + sin² α).

Подставим sin² α = 1 - cos² α в это выражение:

гипотенуза = √(25cos² α + (1 - cos² α)) = √(24cos² α + 1).

Теперь найдем sin² α:

sin² α = 1 - cos² α = 1 - (катет / гипотенуза)².

Подставим значение катета:

sin² α = 1 - (sin α / √(25cos² α + (1 - cos² α)))².

Эти выражения могут быть сложными, поэтому для упрощения можно использовать конкретные значения углов или числовые методы. Однако, учитывая, что sin α - это меньший катет, мы можем выразить его значение в виде:

Таким образом, окончательный ответ на квадрат меньшего катета будет:

(sin α)² = 1 - (5cos α)² / (гипотенуза)².

Это выражение можно упростить, но в зависимости от угла α, ответ может варьироваться. В общем случае, мы можем оставить его в виде:

Ответ: (sin α)² = 1 - (25cos² α / (24cos² α + 1)).

Это и будет квадрат меньшего катета, выраженный в виде несократимой обыкновенной дроби.