Вариант 3

1. Даны точки А (3; -2), B (1; -1) и C (-1; 1). Найдите:

• координаты векторов ВА и ВС;
• координаты вектора МР = 4BА-ВС;
• модули векторов ВА и ВС;
• скалярное произведение векторов ВА и ВС;
• косинус угла между векторами ВА и ВС.

2. Начертите треугольник АВС. Постройте вектор:

• CA + AB;
• BC - BA;
• BA + BC.

3. Даны векторы m(2;p) и n(9;-3). При каком значении p векторы:

• коллинеарны;
• перпендикулярны?

4. Найдите косинус угла между векторами b = 6m - n и c = m + 3n.

⚠️Решите пожалуйста! ⚠️

Математика 10 класс Векторы координаты векторов модуль вектора скалярное произведение косинус угла коллинеарные векторы перпендикулярные векторы векторные операции треугольник ABC вектор BA вектор BC Новый

Давайте последовательно решим все пункты задачи.

1. Найдем координаты векторов BA и BC.

• Вектор BA = A - B = (3 - 1; -2 - (-1)) = (2; -1).
• Вектор BC = C - B = (-1 - 1; 1 - (-1)) = (-2; 2).

Теперь найдем координаты вектора MR = 4BA - BC.

• Сначала умножим вектор BA на 4: 4BA = 4 * (2; -1) = (8; -4).
• Теперь вычтем вектор BC: MR = (8; -4) - (-2; 2) = (8 + 2; -4 - 2) = (10; -6).

Теперь найдем модули векторов BA и BC.

• Модуль BA = √(2^2 + (-1)^2) = √(4 + 1) = √5.
• Модуль BC = √((-2)^2 + 2^2) = √(4 + 4) = √8 = 2√2.

Теперь найдем скалярное произведение векторов BA и BC.

• Скалярное произведение = BA * BC = (2 * (-2)) + ((-1) * 2) = -4 - 2 = -6.

Теперь найдем косинус угла между векторами BA и BC.

• Косинус угла θ = (BA * BC) / (|BA| * |BC|).
• Косинус угла θ = -6 / (√5 * 2√2) = -6 / (2√10) = -3 / √10.

2. Начертим треугольник ABC и построим векторы.

• Вектор CA = A - C = (3 - (-1); -2 - 1) = (4; -3).
• Вектор AB = B - A = (1 - 3; -1 - (-2)) = (-2; 1).
• Вектор BC = C - B = (-2; 2).

Теперь найдем:

• CA + AB = (4; -3) + (-2; 1) = (2; -2).
• BC - BA = (-2; 2) - (2; -1) = (-4; 3).
• BA + BC = (2; -1) + (-2; 2) = (0; 1).

3. Даны векторы m(2; p) и n(9; -3).

При каком значении p векторы коллинеарны?

Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны:

(2 / 9) = (p / -3).

Умножим на -3:

p = -6 / 9 = -2/3.

При каком значении p векторы перпендикулярны?

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

(2 * 9) + (p * -3) = 0.

18 - 3p = 0.

3p = 18, p = 6.

4. Найдем косинус угла между векторами b = 6m - n и c = m + 3n.

• Сначала найдем вектор b: b = 6(2; p) - (9; -3) = (12; 6p) - (9; -3) = (3; 6p + 3).
• Теперь найдем вектор c: c = (2; p) + 3(9; -3) = (2; p) + (27; -9) = (29; p - 9).

Теперь найдем скалярное произведение b и c:

b * c = (3 * 29) + ((6p + 3) * (p - 9)) = 87 + (6p^2 - 54p + 3p - 27) = 87 - 27 + 6p^2 - 51p = 60 + 6p^2 - 51p.

Теперь найдем модули векторов b и c:

• |b| = √(3^2 + (6p + 3)^2) = √(9 + (36p^2 + 36p + 9)) = √(36p^2 + 36p + 18).
• |c| = √(29^2 + (p - 9)^2) = √(841 + (p^2 - 18p + 81)) = √(p^2 - 18p + 922).

Теперь косинус угла между векторами:

cos(θ) = (b * c) / (|b| * |c|) = (60 + 6p^2 - 51p) / (√(36p^2 + 36p + 18) * √(p^2 - 18p + 922)).

Таким образом, мы нашли все необходимые значения для всех пунктов задачи.