Заготовкой древесины занимались два лесоруба. Первый работал 2 дня, после чего к нему присоединился второй лесоруб. Проработав вместе 8 дней, они смогли выполнить 80% всего объема работы. Первому лесорубу на выполнение всей работы необходимо на 5 дней больше, чем второму. За сколько дней смог бы выполнить всю работу каждый лесоруб, работая отдельно?

Нужно расписать полное решение.

Математика 10 класс Системы уравнений лесорубы работа математика задача решение объем работы дни производительность процент система уравнений Новый

Для решения задачи начнем с обозначения:

• T1 - время, за которое первый лесоруб выполнит всю работу (в днях);
• T2 - время, за которое второй лесоруб выполнит всю работу (в днях).

Из условия задачи мы знаем, что:

• Первый лесоруб работает 2 дня в одиночку, после чего к нему присоединяется второй лесоруб.
• Они работают вместе еще 8 дней и выполняют 80% всей работы.
• Первому лесорубу нужно на 5 дней больше, чем второму, чтобы выполнить всю работу, то есть T1 = T2 + 5.

Теперь мы можем выразить производительность каждого лесоруба:

• Производительность первого лесоруба: 1/T1 (часть работы, выполненная за 1 день);
• Производительность второго лесоруба: 1/T2 (часть работы, выполненная за 1 день).

Теперь определим, сколько работы выполняет первый лесоруб за 2 дня:

• Работа, выполненная первым лесорубом за 2 дня: 2/T1.

После этого они работают вместе 8 дней:

• Работа, выполненная обоими лесорубами за 8 дней: 8*(1/T1 + 1/T2).

В результате, за весь период они выполнили 80% работы:

• 2/T1 + 8*(1/T1 + 1/T2) = 0.8.

Теперь подставим T1 = T2 + 5 в уравнение:

• 2/(T2 + 5) + 8*(1/(T2 + 5) + 1/T2) = 0.8.

Теперь упростим выражение:

• 2/(T2 + 5) + 8/(T2 + 5) + 8/T2 = 0.8.
• 10/(T2 + 5) + 8/T2 = 0.8.

Теперь умножим все уравнение на T2*(T2 + 5), чтобы избавиться от знаменателей:

• 10*T2 + 8*(T2 + 5) = 0.8*T2*(T2 + 5).

Раскроем скобки:

• 10*T2 + 8*T2 + 40 = 0.8*T2^2 + 4*T2.

Соберем все в одно уравнение:

• 0.8*T2^2 - (10*T2 + 8*T2 - 4*T2) - 40 = 0.
• 0.8*T2^2 - 14*T2 - 40 = 0.

Теперь умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:

• 8*T2^2 - 140*T2 - 400 = 0.

Теперь мы можем использовать дискриминант для решения квадратного уравнения:

• D = b^2 - 4ac = (-140)^2 - 4*8*(-400) = 19600 + 12800 = 32400.

Теперь найдем корни уравнения:

• T2 = (140 ± √32400) / (2 * 8) = (140 ± 180) / 16.

Получаем два возможных значения:

• T2 = (320) / 16 = 20 (при использовании знака "+" );
• T2 = (-40) / 16 = -2.5 (отбрасываем, так как время не может быть отрицательным).

Теперь подставим значение T2 обратно, чтобы найти T1:

• T1 = T2 + 5 = 20 + 5 = 25.

Таким образом, мы получили:

• Первый лесоруб выполнит всю работу за 25 дней.
• Второй лесоруб выполнит всю работу за 20 дней.

Ответ: первый лесоруб сможет выполнить всю работу за 25 дней, второй лесоруб - за 20 дней.