Давайте разберем каждую из задач по очереди.

1. Выберите выражения, которые являются многочленами:

• a) x^6 + 5 - это многочлен, так как он состоит из суммы степеней переменной x с неотрицательными целыми показателями.
• б) x^4 + 2x^3 - 3√x + 1 - это не многочлен, так как содержит корень (√x), который не является целым показателем.
• в) (x^3 - x^2 + x)/(x^2 + 2) - это не многочлен, так как выражение представлено в виде дроби, а многочлен должен быть представлен в виде суммы, а не деления.
• г) x^4 - 2x^3 + 3x^2 - x + 7 - это многочлен, так как он состоит из суммы степеней переменной x с неотрицательными целыми показателями.

Итог: Многочлены - это a) и г).

2. Разделите «уголком» многочлен P(x) = x^3 - 5x^2 + 6x - 2 на многочлен Q(x) = x + 1:

1. Записываем многочлен P(x) и делим его на Q(x) с помощью деления «уголком».
2. Первый шаг: x^3 делим на x, получаем x^2. Умножаем x^2 на (x + 1), получаем x^3 + x^2.
3. Вычитаем: (x^3 - 5x^2 + 6x - 2) - (x^3 + x^2) = -6x^2 + 6x - 2.
4. Второй шаг: -6x^2 делим на x, получаем -6x. Умножаем -6x на (x + 1), получаем -6x^2 - 6x.
5. Вычитаем: (-6x^2 + 6x - 2) - (-6x^2 - 6x) = 12x - 2.
6. Третий шаг: 12x делим на x, получаем 12. Умножаем 12 на (x + 1), получаем 12x + 12.
7. Вычитаем: (12x - 2) - (12x + 12) = -14.

Итог: Частное = x^2 - 6x + 12, остаток = -14.

3. Решите уравнение x^3 - 8x^2 + 13x - 6 = 0:

Для решения уравнения можно использовать метод подбора корней или теорему Виета.

• Подбираем возможные корни (например, 1, 2, 3 и т.д.).
• Проверим x = 1: 1^3 - 8*1^2 + 13*1 - 6 = 0. Значит, x = 1 - корень.
• Теперь делим многочлен на (x - 1) через деление «уголком» или с помощью синтетического деления.
• После деления получаем x^2 - 7x + 6 = 0.
• Решаем это квадратное уравнение: (x - 6)(x - 1) = 0, корни x = 6 и x = 1.

Итог: Корни уравнения: x = 1 (двойной корень), x = 6.

4. Найдите значение a, при котором остаток от деления многочлена P(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax - 6 на многочлен Q(x) = x - 2 равен 6:

Для нахождения остатка от деления многочлена P(x) на (x - 2) воспользуемся теоремой о остатке:

• Остаток R = P(2).
• Подставим x = 2 в P(x): R = 2(2)^3 - 3(2)^2 + a(2) - 6.
• Решаем: R = 16 - 12 + 2a - 6 = 2a - 2.
• Приравниваем к 6: 2a - 2 = 6.
• Решаем: 2a = 8, a = 4.

Итог: Значение a = 4.

5. Сократите дробь (x^3 + 4x^2 + 5x + 2)/(x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 6x + 5):

Сначала попробуем разложить числитель и знаменатель на множители.

• Числитель: x^3 + 4x^2 + 5x + 2 можно разложить на множители, например, через метод группировки или подбора.
• Знаменатель: x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 6x + 5 также можно разложить.

После разложения (например, через деление или другие методы) можно будет увидеть, есть ли общие множители.

Предположим, что дробь сокращается. Например, если мы нашли общий множитель (x + 1), то:

• Числитель: (x + 1)(x^2 + 3x + 2)
• Знаменатель: (x + 1)(x^3 - 3x + 5)

После сокращения получаем: (x^2 + 3x + 2)/(x^3 - 3x + 5).

Итог: Сокращенная дробь (x^2 + 3x + 2)/(x^3 - 3x + 5), если x + 1 - общий множитель.