Общие замечания (метод). Для уравнения второго порядка вида A(x,y) u_xx + 2B(x,y) u_xy + C(x,y) u_yy + ... = 0 тип уравнения в каждой точке определяется дискриминантом D = B^2 - A C. Если D>0 — гиперболическое, D=0 — параболическое, D<0 — эллиптическое. Характеристические линии находятся из уравнения A (dy)^2 - 2B dx dy + C (dx)^2 = 0, т.е. dy/dx = (B ± sqrt(B^2 - A C))/A. В каждой области, где тип постоянен, вводят новые переменные, постоянные вдоль характеристик (для гиперболического) или соответствующие приводящие координаты (для эллиптического), и приводят главную часть к каноническому виду.

Задача 2. u_xx + x u_yy = 0.

1. Найдем тип. Здесь A = 1, B = 0, C = x, поэтому D = B^2 - A C = -x.
   • Если x>0, то D = -x < 0 → уравнение эллиптическое.
   • Если x<0, то D = -x > 0 → уравнение гиперболическое.
   • Если x = 0, то D = 0 → параболическое (вырожденный случай).
2. Характеристики (для гиперболической области x<0). Уравнение характеристик: (dy/dx)^2 + x = 0 ⇒ dy/dx = ± sqrt(-x). Интегрируя: y ∓ (2/3)(-x)^{3/2} = const. Поэтому можно ввести новые координаты (постоянные вдоль характеристик) ξ = y + (2/3)(-x)^{3/2}, η = y - (2/3)(-x)^{3/2}. В этих переменных главная часть приводится к виду K(x,y) u_{ξη}, K ≠ 0, т.е. делением на ненулевой множитель получаем каноническую форму u_{ξη} = 0 (главная часть). Это типичный канонический вид для гиперболического уравнения.
3. Эллиптическая область x>0. Реальных характеристик нет. В этих точках можно ввести приводящие координаты (напр., α = y, β = (2/3) x^{3/2} — производная β' = x^{1/2} связана с корнем); в подходящих переменных главная часть преобразуется в форму u_{αα} + u_{ββ} = 0 (до постоянного множителя). То есть канонический вид — лапласианоподобный.
4. Параболическая линия x=0. Тут уравнение сводится к u_xx = 0 (главная часть), канонический вид — u_{αα} = 0 с α = x, β = y.

Задача 3. u_xx + y u_yy = 0.

1. Тип. A = 1, B = 0, C = y ⇒ D = -y.
   • y>0 ⇒ D<0 ⇒ эллиптическое;
   • y<0 ⇒ D>0 ⇒ гиперболическое;
   • y=0 ⇒ параболическое.
2. Характеристики (для гиперболической области y<0). Уравнение характеристик: (dy/dx)^2 + y = 0 ⇒ dy/dx = ± sqrt(-y). Разделяя переменные: dy/ sqrt(-y) = ± dx ⇒ при интегрировании получаем x ± 2 sqrt(-y) = const. Можно ввести координаты ξ = x + 2 sqrt(-y), η = x - 2 sqrt(-y). В этих переменных главная часть даёт (после деления на ненулевой множитель) каноническую форму u_{ξη} = 0.
3. Эллиптическая область y>0. Реальные характеристики отсутствуют; вводя, например, β = 2 sqrt(y) и α = x, главная часть приводится к виду u_{αα} + u_{ββ} = 0 (до множителя), т.е. эллиптический канонический вид.
4. Параболическая граница y=0. Главная часть даёт u_xx = 0, канонический вид u_{αα} = 0 с α = x, β = y.

Задача 4. u_xx + y u_yy + (1/2) u_y = 0.

1. Тип уравнения определяется только главной частью A = 1, C = y, так же как в задаче 3: D = -y.
   • y>0 — эллиптическое, y<0 — гиперболическое, y=0 — параболическое.
2. Каноническая редукция. Принципиально главная часть сводится к тем же каноническим формам, что и в задаче 3:
   • Для y<0 можно взять ξ = x + 2 sqrt(-y), η = x - 2 sqrt(-y) и получить главную часть пропорциональную u_{ξη} — т.е. канонический вид u_{ξη} = (нижние члены)/(коэффициент).
   • Для y>0 вводят подходящие действительные координаты (например α = x, β = 2 sqrt(y)), и главную часть даёт u_{αα} + u_{ββ} = 0 (до множителя).
   • На y=0 — параболический вырожденный случай, главная часть u_xx = 0.
   Отметим, что наличие дополнительного члена (1/2) u_y не меняет классификации, но при точной записи канонической формы он преобразуется в соответствующую комбинацию первых производных по новым переменным (то есть в правой части канонической формы появятся члены первого порядка). Для полной явной записи этих членов нужно выполнить подстановку выражений x(ξ,η), y(ξ,η) и вычислить преобразование производных; это можно сделать по стандартным формулам, если требуется детально.

Краткие итоги.

• Уравнения 2 и 3 (и 4 по главной части) имеют тип, зависящий от знака соответствующей коэффициенты C: для u_xx + x u_yy — от знака x; для u_xx + y u_yy — от знака y.
• В гиперболической области характеристики реальны и удобны для ввода переменных ξ,η, дающих каноническую форму u_{ξη} = ... .
• В эллиптической области характеристики комплексны; вводят действительные пары координат, дающие вид u_{αα} + u_{ββ} = ... .
• На границе изменения типа (x=0 или y=0) уравнение параболическое; главная часть сводится к u_xx = 0.

Замечание. В пункте 1 вы пишете: "(1+x) u_xx + 2xy u_xy - y² u_yy = 0 и исследовать их зависимость от l, где l — числовой параметр". Параметр l в этой записи не виден — уточните, пожалуйста, где он должен стоять (в коэффициенте при u_yy, при u_xx или в другом месте). Пока этого уточнения нет, перейду к задачам 2–4.

Общий метод (напоминание). Для уравнения второго порядка вида

• A(x,y) u_xx + 2B(x,y) u_xy + C(x,y) u_yy + ... = 0

тип в каждой точке определяется дискриминантом D = B^2 − A C. Если D>0 — гиперболическое, D<0 — эллиптическое, D=0 — параболическое. Для гиперболического случая ищем характеристики как интегралы уравнения A (dy)^2 − 2B dx dy + C (dx)^2 = 0 (или уравнение для dy/dx). В новых координатах (характеристические переменные ξ, η) основной (вторый) член преобразуется в смешанную производную u_{ξη} (в идеальном каноническом виде). Для эллиптического случая используют комплексные характеристики или подбирают две независимые вещественные координаты, приводящие вторую часть к сумме квадратов; для параболической линии тип вырождается и уравнение упрощается вдоль этой линии.

Задача 2. u_xx + x u_yy = 0.

1. Определим тип. Здесь A=1, B=0, C=x, поэтому D = B^2 − A C = −x.
2. Вывод по типу:
   • Если x>0, то D<0 → уравнение эллиптическое (в окрестностях точек с x>0).
   • Если x<0, то D>0 → уравнение гиперболическое (в окрестностях точек с x<0).
   • Если x=0, то D=0 → параболическая линия x=0.
3. Характеристики в гиперболической области (x<0). Уравнение для dy/dx: (dy/dx)^2 = −C/A = −x, поэтому dy/dx = ± sqrt(−x). Разделяя переменные: dy = ± sqrt(−x) dx. Интегрируя: y ∓ (2/3)(−x)^{3/2} = const. Значит можно взять характеристики (инварианты) ξ = y + (2/3)(−x)^{3/2}, η = y − (2/3)(−x)^{3/2}.
4. Канонический вид. В окрестности точки с x<0 существует невырожденное преобразование (x,y) → (ξ,η) по формулам выше. В этих переменных приведённый второй порядок может быть сведён к форме (нестрого) u_{ξη} = 0 (точнее: ненулевой множитель перед u_{ξη} можно убрать нормировкой переменных). Таким образом в гиперболической области канонический вид — уравнение вида u_{ξη} = 0 (до ненулевого множителя).
5. В эллиптической области (x>0) характеристики комплексные; выбирают вещественные координаты α, β так, чтобы в новых переменных второй порядок имел вид u_{αα} + u_{ββ} = 0 (локально эквивалентно уравнению Лапласа, т.е. эллиптический канонический вид).
6. На линии x=0 уравнение вырождается до u_xx = 0 (параболический случай на границе изменения типа).

Задача 3. u_xx + y u_yy = 0.

1. Определим тип. Здесь A=1, B=0, C=y, поэтому D = −y.
2. Вывод по типу:
   • Если y>0 → эллиптическое (D<0).
   • Если y<0 → гиперболическое (D>0).
   • Если y=0 → параболическая линия y=0.
3. Характеристики в гиперболической области (y<0). Уравнение для dy/dx: (dy/dx)^2 = −y, поэтому dy/dx = ± sqrt(−y). Разделяя переменные: dy / sqrt(−y) = ± dx. Интегрируя: −2 sqrt(−y) = ± x + const, откуда x ± 2 sqrt(−y) = const. Можно взять инварианты ξ = x + 2 sqrt(−y), η = x − 2 sqrt(−y).
4. Канонический вид. В гиперболической области переход к переменным ξ, η даёт уравнение второго порядка в каноническом представлении вида u_{ξη} + P(ξ,η) u_ξ + Q(ξ,η) u_η = 0, то есть основной (вторый) член превращается в смешанную производную, но в общем остаются низших порядков члены (зависит от того, как зависят ξ,η от x,y). Поэтому канонический вид — уравнение вида u_{ξη} + ... = 0 с явными функциями P,Q, которые получают при расчёте по формуле преобразования (в рамках школьной задачи достаточно выписать характеристики и указать тип и форму канонического уравнения).
5. В эллиптической области y>0 выбирают вещественные координаты, приводящие вторую часть к сумме квадратов: локально канонический вид — u_{αα} + u_{ββ} = 0.
6. На линии y=0: парабола, здесь уравнение вырождается до u_xx = 0.

Задача 4. u_xx + y u_yy + (1/2) u_y = 0.

1. Коэффициенты второго порядка те же, что в задаче 3: A=1, B=0, C=y, поэтому тип снова зависит от знака y (y>0 эллиптическое, y<0 гиперболическое, y=0 парabolic).
2. Возьмём гиперболическую область y<0 и те же характеристики, что в задаче 3: ξ = x + 2 sqrt(−y), η = x − 2 sqrt(−y).
3. Вычислим преобразование подробно (пусть s = sqrt(−y), тогда y = −s^2, s>0):
   • ξ_x = 1, η_x = 1;
   • ξ_y = −1/s, η_y = 1/s.
   Отсюда u_x = u_ξ + u_η, u_y = (u_η − u_ξ)/s.
4. Вторые производные при этом дают (после подстановки и аккуратного вычисления всех членов) выражение для комбинации u_xx + y u_yy = 4 u_{ξη} + (u_ξ − u_η)/(2 s).
5. Теперь прибавляем член (1/2) u_y = (1/2) (u_η − u_ξ)/s. Сумма этих двух низших членов даёт ноль: (u_ξ − u_η)/(2 s) + (u_η − u_ξ)/(2 s) = 0. Поэтому все слагаемые первого порядка взаимно уничтожаются, и остаётся простое уравнение 4 u_{ξη} = 0. Отсюда канонический вид в гиперболической области y<0: u_{ξη} = 0.
6. В эллиптической области y>0 снова получают канонический вид вида u_{αα} + u_{ββ} = 0 (локально), а на линии y=0 — параболическая вырождение (u_xx = 0 для y=0).

Краткие ответы по типам (сводно):

• Для уравнений 2 и 3: тип зависит от знака соответствующего множителя при u_yy (в задаче 2 — от x, в задаче 3 — от y): положительный — эллиптическое, отрицательный — гиперболическое, нуль — параболическая граница.
• Для уравнения 4 тип тот же, что у задачи 3, но при переходе к характеристическим переменным в гиперболической области y<0 уравнение удачно упрощается до u_{ξη} = 0 (в точности, без дополнительных членов).

Если хотите, могу:

• подробно выполнить преобразование к каноническому виду для уравнения 2 (выписать выражения для u_xx и u_yy в переменных ξ,η и показать приведение),
• или уточнить пункт 1 — где именно стоит параметр l, чтобы исследовать зависимость по l.

Вводная заметка. Напомню общий план: для уравнения второго порядка A u_xx + 2B u_xy + C u_yy + (нижестоящие) = 0 сначала вычисляем дискриминант D = B^2 - A C и по знаку D разделяем области (гиперболическая, эллиптическая, параболическая). В гиперболической области ищем характеристики как семейства решений уравнения для сторонних дифференциалов A (dy)^2 - 2B dx dy + C (dx)^2 = 0, то есть уравнение для dy/dx; затем вводим новые переменные ξ, η — инварианты вдоль этих семейств (характеристики). В этих переменных главный член приводится либо к u_{ξη} (гипербол.), либо к u_{ξξ}+u_{ηη} (эллипт.), либо к виду с одномерной второй производной (параб.). Далее можно учесть нижестоящие члены.

1. Уравнение 2: u_xx + x u_yy = 0.

   Коэффициенты: A = 1, B = 0, C = x. Дискриминант D = B^2 - A C = -x.

   Типы по областям:

   • Если x < 0: D > 0 — уравнение гиперболическое.
   • Если x > 0: D < 0 — уравнение эллиптическое.
   • Если x = 0: D = 0 — параболическое (граничный случай).

   Гиперболическая область (x < 0). Характеристики задаются уравнением

   (dy/dx)^2 = -x.

   Отсюда dy/dx = ± sqrt(-x). Интегрируя получаем семейства:

   y = ± (2/3) (-x)^{3/2} + const.

   Берём независимые комбинации как новые переменные, например

   ξ = y + (2/3) (-x)^{3/2}, η = y - (2/3) (-x)^{3/2}.

   В этих переменных главный (второго порядка) член сводится к чистому смешанному производному: после деления на ненулевой множитель получаем канонический вид

   u_{ξη} = 0.

   Эллиптическая область (x > 0). Характеристики мнимы; вводя комплексные характеристики φ = y ± i (2/3) x^{3/2} и выделяя их вещественные и мнимые части, можно получить вещественное приведение к каноническому виду типа

   u_{αα} + u_{ββ} = 0

   — то есть к уравнению Лапласа в подходящих координатах).

   Параболический случай (x = 0). При x = 0 уравнение превращается в

   u_xx = 0,

   что уже канонически: в подходящих координатах зависимость только от одной второй производной.

2. Уравнение 3: u_xx + y u_yy = 0.

   Коэффициенты: A = 1, B = 0, C = y. Дискриминант D = -y.

   Типы по областям:

   • y < 0: D > 0 — гиперболическое;
   • y > 0: D < 0 — эллиптическое;
   • y = 0: D = 0 — параболическое.

   Гиперболическая область (y < 0). Пусть s = sqrt(-y) (>0). Характеристики:

   (dy/dx)^2 = -y = s^2, значит dy/dx = ± s.

   Интегрирование даёт

   -2 sqrt(-y) = ± x + const.

   Удобные переменные:

   ξ = x + 2 sqrt(-y), η = x - 2 sqrt(-y).

   В этих переменных главный член превращается (после деления на ненулевой множитель) в

   u_{ξη} = 0.

   Замечание: конкретный множитель при u_{ξη} можно вычислить, но после деления получаем ровно каноническую форму u_{ξη} = 0.

   Эллиптическая область (y > 0). Аналогично предыдущему: характеристики мнимы, вводя комплексные комбинации y ± i (2/3) y^{3/2}-подобные, можно получить реальную каноническую форму

   u_{αα} + u_{ββ} = 0.

   Параболический случай (y = 0). Тогда уравнение сводится к

   u_xx = 0,

   или, если учитывать поведение при малых y, к виду с одной второй производной по одному направлению.

3. Уравнение 4: u_xx + y u_yy + (1/2) u_y = 0.

   Коэффициенты главного члена те же: A = 1, B = 0, C = y, отсюда D = -y. Типы по областям такие же, как в задаче 3.

   Гиперболическая область (y < 0). Возьмём те же характеристики и переменные, что в задаче 3:

   ξ = x + 2 sqrt(-y), η = x - 2 sqrt(-y).

   Обозначим s = sqrt(-y). Тогда легко проверить производные преобразования:

   ξ_x = 1, ξ_y = -1/s; η_x = 1, η_y = 1/s.

   При переходе в переменные ξ, η главный (второго порядка) член дает вовсе не u_{ξξ} или u_{ηη}, а только смешанный член: непосредственно получается множитель 4 при u_{ξη}, то есть второй порядок даёт 4 u_{ξη}.

   Первопорядковый член u_y/2 в переменных ξ,η даёт

   u_y = ξ_y u_ξ + η_y u_η = (-1/s) u_ξ + (1/s) u_η,

   поэтому u_y/2 = (1/(2s)) (u_η - u_ξ).

   В результате уравнение в (ξ,η) принимает вид

   4 u_{ξη} + (1/(2s)) (u_η - u_ξ) = 0.

   С учётом связи s = sqrt(-y) и ξ,η (из ξ - η = 4 s) получаем s = (ξ - η)/4, и окончательно делением на 4:

   u_{ξη} + (1/(2(ξ - η))) (u_η - u_ξ) = 0.

   Это и есть канонический вид в гиперболической области: смешанный член + первые производные с коэффициентами, зависящими от ξ и η.

   Эллиптическая область (y > 0). Как и прежде, характеристики мнимы; при вводе вещественных координат (реальная и мнимая части комплексной характеристики) главный член приводится к сумме вторых производных по двум переменным, а первый порядок даст дополнительные члены. Канонически это можно записать в форме

   u_{αα} + u_{ββ} + (нижестоящие члены в α,β) = 0.

   Параболический случай (y = 0). Подставляем y = 0 и получаем

   u_xx + (1/2) u_y = 0.

   Это канонический парболический вид: в нём в одну сторону есть вторая производная, а в другую — производная первого порядка по "времени" (аналогично уравнению теплопроводности).

Краткие выводы.

• Для уравнений 2 и 3 и для главного члена уравнения 4 тип определяется знаком соответствующего параметра при u_yy (x или y): при положительном параметре — эллиптический, при отрицательном — гиперболический, при нуле — параболический.
• В гиперболической области удобно вводить переменные через реальные характеристики (интегралы dy/dx = ± sqrt(-C/A)), тогда главный член сводится к смешанному u_{ξη}; если есть первые производные (как в задаче 4), они переводятся в линейные члены u_ξ, u_η с явными коэффициентами.
• В эллиптической области характеристики мнимы; канонический вид — уравнение типа u_{αα}+u_{ββ}=0 (с добавлением нижестоящих членов, если они есть).

Если нужно, могу подробно выписать все переходы для уравнения 2 (как я сделал для 3 и 4) с явным проверочным вычислением коэффициентов при u_{ξη} и при первых производных.

Общее напоминание. Для уравнения второго порядка вида a u_xx + 2 b u_xy + c u_yy + ... классификация определяется дискриминантом D = b^2 - a c. Если D>0 — гиперболическое, D=0 — параболическое, D<0 — эллиптическое. Характеристики находятся из уравнения a (dy/dx)^2 - 2 b (dy/dx) + c = 0; интегрирование даёт переход к переменным, в которых главный квадратичный член приводится к каноническому виду.

1. Уравнение (1 + l x) u_xx + 2 x y u_xy - y^2 u_yy = 0. Исследование по параметру l.

• Коэффициенты: a = 1 + l x, b = x y, c = - y^2 (потому что перед u_xy стоит 2 b = 2 x y).
• Дискриминант: D = b^2 - a c = (x y)^2 - (1 + l x)(- y^2) = y^2 (x^2 + l x + 1).
• Заметим: y^2 ≥ 0, и D = 0 при y = 0 или при корне квадратичной функции Q(x) = x^2 + l x + 1.
• Рассмотрим Q(x): её дискриминант Δ = l^2 - 4.
1. Если |l| < 2 (то есть Δ < 0), то Q(x) > 0 для всех x. Тогда при y ≠ 0 имеем D > 0 → уравнение гиперболическое всюду (кроме линии y = 0, где D = 0 — параболическое).
2. Если |l| = 2 (l = ±2), то Q(x) = (x + l/2)^2 ≥ 0 и равна нулю в одной вертикали x = -l/2. Тогда D ≥ 0; при y ≠ 0 и x ≠ -l/2 D > 0 (гиперболическое), на прямой x = -l/2 (любой y) и на y = 0 — D = 0 (параболические линии).
3. Если |l| > 2 (Δ > 0), то Q(x) имеет два разных корня x1, x2. Тогда для y ≠ 0:
   • в интервале между корнями Q(x) < 0 ⇒ D < 0 (эллиптическая область),
   • вне этого интервала Q(x) > 0 ⇒ D > 0 (гиперболическая область),
   • на линиях x = x1 или x = x2 (при любых y) и на y = 0 — D = 0 (переходные параболические линии).
• Вывод: тип уравнения зависит от l через поведение квадратичной функции x^2 + l x + 1; при |l|<2 уравнение в общем гиперболическое (кроме y=0), при |l|>2 имеет области гиперболич., эллиптич. и параболич. (на границах).

2. Уравнение u_xx + x u_yy = 0. Привести к каноническому виду в областях сохранения типа.

• Коэффициенты: a = 1, b = 0, c = x. Дискриминант D = 0^2 - 1·x = -x.
• Типы в зависимости от x:
  • x < 0: D > 0 — гиперболическое;
  • x = 0: D = 0 — параболическое;
  • x > 0: D < 0 — эллиптическое.
• Характеристики: решаем (dy/dx)^2 + x = 0 ⇒ (dy/dx)^2 = -x.
1. Гиперболическая область (x < 0). Тогда -x > 0 и dy/dx = ± sqrt(-x). Интегрируя, y = ± ∫ sqrt(-x) dx = ± ( - 2/3 (-x)^{3/2} ) + const. Поэтому характеристики задаются линейно: ξ = y + (2/3)(-x)^{3/2}, η = y - (2/3)(-x)^{3/2}. В этих переменных главный член приводится к виду u_{ξη} = 0 (канонический вид для гиперболического уравнения).
2. Параболическая линия (x = 0). При x = 0 уравнение сводится к u_xx = 0. Канонический вид: u_{ξξ} = 0, например с ξ = x, вторая переменная может быть y (η = y).
3. Эллиптическая область (x > 0). Корни характеристического уравнения комплексны; формально можно ввести "комплексные характеристики" или перейти к вещественному каноническому виду второго порядка типа u_{αα} + u_{ββ} = 0. Удобный выбор переменных (для главного члена) — взять α = y, β = (2/3) x^{3/2}, тогда главный квадратичный член приводится к виду u_{αα} + u_{ββ} = 0 (эллиптический канонический вид), остальные нижестоящие члены отсутствуют в данном уравнении.

3. Уравнение u_xx + y u_yy = 0. Привести к каноническому виду.

• Коэффициенты: a = 1, b = 0, c = y. Дискриминант D = -y.
• Типы в зависимости от y:
  • y < 0: D > 0 — гиперболическое;
  • y = 0: D = 0 — параболическое;
  • y > 0: D < 0 — эллиптическое.
• Характеристики: (dy/dx)^2 + y = 0 ⇒ (dy/dx)^2 = -y.
1. Гиперболическая область (y < 0). Тогда sqrt(-y) — реально, решаем: dy/dx = ± sqrt(-y) ⇒ разделяя переменные получаем интегралы, в результате характеристики: ξ = x + 2 sqrt(-y), η = x - 2 sqrt(-y). В этих переменных главный член приводит к каноническому виду u_{ξη} = 0.
2. Параболическая линия (y = 0). При y = 0 уравнение превращается в u_xx = 0, канонический вид u_{ξξ} = 0 (ξ = x).
3. Эллиптическая область (y > 0). Как и в задаче 2, корни комплексны; можно выбрать вещественные переменные, например α = x, β = (2/3) y^{3/2}, и получить канонический вид для главного члена u_{αα} + u_{ββ} = 0.

4. Уравнение u_xx + y u_yy + (1/2) u_y = 0. Привести к каноническому виду.

• Принципиальная часть — та же, что в задаче 3: a = 1, b = 0, c = y, дискриминант D = -y. Следовательно, типы те же: гиперболическое при y < 0, параболическое на y = 0, эллиптическое при y > 0.
• Характеристики и переход к переменным делаются так же, как в задаче 3:
  1. В гиперболической области (y < 0) вводим ξ = x + 2 sqrt(-y), η = x - 2 sqrt(-y). Тогда главный член приводится к u_{ξη}. Но из-за наличия члена (1/2) u_y при переходе появятся также члены первого порядка в новых переменных. В общем виде после замены получим уравнение вида u_{ξη} + A(ξ,η) u_ξ + B(ξ,η) u_η = 0, где функции A и B выражаются через y(ξ,η) (их можно получить прямым применением правила дифференцирования по цепочке).
  2. На параболической линии (y = 0) уравнение становится u_xx + (1/2) u_y = 0. Здесь естественный выбор переменных: ξ = x (по направлению кратной характеристики), η = y. Тогда канонический пароболический вид — уравнение второго порядка по ξ и первого порядка по η: u_{ξξ} + (1/2) u_η = 0.
  3. В эллиптической области (y > 0) можно ввести, как ранее, вещественные переменные α = x, β = (2/3) y^{3/2}. В новых переменных главный член приводится к u_{αα} + u_{ββ}, а член (1/2) u_y преобразуется в комбинацию u_α и u_β. В итоге получаем уравнение вида u_{αα} + u_{ββ} + C(α,β) u_α + D(α,β) u_β = 0, где C и D выражаются через y(α,β).
• Итог: тип определяется знаком y (как в задаче 3). Канонический главный член тот же, но из-за добавленного (1/2) u_y при переводе в характерные переменные появляются дополнительные члены первого порядка; в параболическом случае канонический вид — u_{ξξ} + (1/2) u_η = 0.

Замечания по практическому выполнению приведения к каноническому виду.

• Для гиперболического случая удобно явно найти две семейства характеристик, положить новые независимые переменные равными постоянным вдоль этих семейств; тогда главный член превращается в константный множитель у_{ξη}. Часто можно нормировать множитель к 1 путём дополнительного масштабирования переменных.
• Для эллиптического случая корни характеристического уравнения комплексны; практическая операция — введение двух вещественных переменных, построенных из вещественной и мнимой частей интеграла характеристик (обычно даёт вид u_{αα} + u_{ββ} = ...). Для школьного уровня достаточно указать такой переход и записать канонический вид главного члена.
• Если у уравнения есть члены первого порядка (как в задаче 4), то при переходе к новым переменным появляются дополнительные первые производные; каноническое приведение обычно означает приведение лишь главного квадратичного члена к одному из трёх типов, остальное выписывается как дополнительные слагаемые.

Если хотите, могу подробно проделать преобразование для одного из случаев (например, полностью вычислить коэффициенты A(ξ,η), B(ξ,η) в задаче 4 в гиперболической области), шаг за шагом с вычислением производных по цепочке.