2025-10-31 09:30:28
23. 1) Какое наименьшее натуральное число имеет 15 натуральных делителей и при делении на простые множители имеет вид 2^m * 3^n, где n и m - натуральные числа?
2) Какое наибольшее натуральное число имеет 10 натуральных делителей и при делении на простые множители имеет вид 2^m * 5^n, где n и m - натуральные числа?
Математика 11 класс Теория делимости и делители Наименьшее натуральное число 15 натуральных делителей простые множители 2^m * 3^n наибольшее натуральное число 10 натуральных делителей 2^m * 5^n натуральные числа задачи по математике делители натуральных чисел Новый
2025-10-31 09:30:55
Решение первой задачи:
Нам нужно найти наименьшее натуральное число, которое имеет 15 натуральных делителей и может быть представлено в виде 2^m * 3^n, где m и n - натуральные числа.
Сначала давайте вспомним, как вычисляются количество делителей числа. Если число имеет вид p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak, то количество его делителей D можно найти по формуле:
D = (a1 + 1) * (a2 + 1) * ... * (ak + 1).
В нашем случае число имеет вид 2^m * 3^n, поэтому:
- m - степень 2,
- n - степень 3.
Количество делителей будет равно:
D = (m + 1)(n + 1).
Мы знаем, что D = 15. Теперь нам нужно разложить 15 на множители:
- 15 = 15 * 1,
- 15 = 5 * 3,
- 15 = 3 * 5.
Теперь рассмотрим каждую пару:
- Для 15 = 15 * 1:
m + 1 = 15, n + 1 = 1
Это дает m = 14, n = 0 (не подходит, n должно быть натуральным). - Для 15 = 5 * 3:
m + 1 = 5, n + 1 = 3
Это дает m = 4, n = 2. - Для 15 = 3 * 5:
m + 1 = 3, n + 1 = 5
Это дает m = 2, n = 4.
Теперь находим соответствующие числа:
- 2^4 * 3^2 = 16 * 9 = 144,
- 2^2 * 3^4 = 4 * 81 = 324.
Наименьшее из этих чисел - 144. Таким образом, ответ на первую задачу:
144
Решение второй задачи:
Теперь найдем наибольшее натуральное число, имеющее 10 натуральных делителей и представимое в виде 2^m * 5^n.
Используем ту же формулу для количества делителей:
D = (m + 1)(n + 1).
Мы знаем, что D = 10. Разложим 10 на множители:
- 10 = 10 * 1,
- 10 = 5 * 2,
- 10 = 2 * 5.
Рассмотрим каждую пару:
- Для 10 = 10 * 1:
m + 1 = 10, n + 1 = 1
Это дает m = 9, n = 0 (не подходит, n должно быть натуральным). - Для 10 = 5 * 2:
m + 1 = 5, n + 1 = 2
Это дает m = 4, n = 1. - Для 10 = 2 * 5:
m + 1 = 2, n + 1 = 5
Это дает m = 1, n = 4.
Теперь находим соответствующие числа:
- 2^4 * 5^1 = 16 * 5 = 80,
- 2^1 * 5^4 = 2 * 625 = 1250.
Наибольшее из этих чисел - 1250. Таким образом, ответ на вторую задачу:
1250