2025-10-25 11:17:25
25. Какое количество сократимых правильных дробей можно составить со знаменателем 115?
- A) 10
- B) 28
- C) 21
- D) 8
- E) 26
Математика 11 класс Сократимые дроби и теорема Эйлера о числе Эйлера сократимые дроби правильные дроби знаменатель 115 количество дробей математика 11 класс Новый
2025-10-25 11:17:35
Чтобы найти количество сократимых правильных дробей со знаменателем 115, нам нужно определить, сколько чисел от 1 до 114 (включительно) являются взаимно простыми со знаменателем 115. Это можно сделать с помощью функции Эйлера, которая обозначается как φ(n) и вычисляет количество целых чисел от 1 до n, которые взаимно просты с n.
Для начала, найдем разложение числа 115 на простые множители:
- 115 = 5 * 23
Теперь можем использовать формулу для вычисления функции Эйлера:
φ(n) = n * (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2) * ... * (1 - 1/pk),
где p1, p2, ..., pk - это все различные простые делители числа n.
В нашем случае:
- n = 115
- p1 = 5
- p2 = 23
Теперь подставим значения в формулу:
φ(115) = 115 * (1 - 1/5) * (1 - 1/23)
Сначала вычислим (1 - 1/5) и (1 - 1/23):
- 1 - 1/5 = 4/5
- 1 - 1/23 = 22/23
Теперь подставим эти значения в формулу:
φ(115) = 115 * (4/5) * (22/23)
Сначала умножим 115 на 4/5:
115 * (4/5) = 92
Теперь умножим 92 на 22/23:
92 * (22/23) = 88
Таким образом, количество сократимых правильных дробей со знаменателем 115 равно 88.
Ответ: 88