Похожие вопросы
2025-10-29 06:59:47
3. Найдите значение выражения: sin(arccos(1/7)) + ctg(arctg(2/7)) + tg(arcsin(1/3)) [4]
Математика 11 класс Тригонометрические функции и их обратные значение выражения sin arccos ctg arctg tg arcsin математика 11 класс Новый
2025-10-29 07:00:05
Чтобы найти значение выражения sin(arccos(1/7)) + ctg(arctg(2/7)) + tg(arcsin(1/3)), будем разбирать каждую часть по отдельности.
- sin(arccos(1/7))
- ctg(arctg(2/7))
- tg(arcsin(1/3))
Пусть θ = arccos(1/7). Это означает, что cos(θ) = 1/7.
Согласно тригонометрической теореме: sin²(θ) + cos²(θ) = 1. Подставим значение cos(θ):
sin²(θ) + (1/7)² = 1
sin²(θ) + 1/49 = 1
sin²(θ) = 1 - 1/49 = 48/49
Теперь найдем sin(θ):
sin(θ) = √(48/49) = √48/7 = 4√3/7.
Пусть φ = arctg(2/7). Это значит, что tg(φ) = 2/7.
Значение котангенса определяется как обратное значение тангенса:
ctg(φ) = 1/tg(φ) = 7/2.
Пусть ψ = arcsin(1/3). Это значит, что sin(ψ) = 1/3.
Чтобы найти tg(ψ), используем теорему:
cos²(ψ) = 1 - sin²(ψ) = 1 - (1/3)² = 1 - 1/9 = 8/9.
Таким образом, cos(ψ) = √(8/9) = 2√2/3.
Теперь найдем тангенс:
tg(ψ) = sin(ψ)/cos(ψ) = (1/3)/(2√2/3) = 1/(2√2) = √2/4.
Теперь можем сложить все найденные значения:
sin(arccos(1/7)) + ctg(arctg(2/7)) + tg(arcsin(1/3) = (4√3/7) + (7/2) + (√2/4).
Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7, 2 и 4 равен 28:
- (4√3/7) = (4√3 * 4)/(7 * 4) = 16√3/28
- (7/2) = (7 * 14)/(2 * 14) = 98/28
- (√2/4) = (√2 * 7)/(4 * 7) = 7√2/28
Теперь складываем:
(16√3 + 98 + 7√2) / 28.
Таким образом, окончательный ответ:
(16√3 + 98 + 7√2) / 28.