Задача 4: Чтобы вычислить объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, мы будем использовать метод дисков или цилиндров. Давайте разберем шаги решения.

1. Определение границ интегрирования: Мы знаем, что кривая задана уравнением y = x^2 - 1, и ограничения по x: x = 1 и x = 2. Мы также учитываем, что y = 0 (ось абсцисс).
2. Нахождение объема: Объем V тела вращения можно найти по формуле: V = π ∫[a, b] (f(x))^2 dx, где f(x) - функция, описывающая верхнюю границу, а a и b - границы интегрирования.
3. Подстановка значений: В нашем случае, f(x) = x^2 - 1, a = 1, b = 2. Подставим эти значения в формулу: V = π ∫[1, 2] (x^2 - 1)^2 dx.
4. Раскрытие скобок: (x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1. Таким образом, интеграл становится: V = π ∫[1, 2] (x^4 - 2x^2 + 1) dx.
5. Вычисление интеграла: Теперь вычислим интеграл:
   • ∫ x^4 dx = (1/5)x^5 + C
   • ∫ -2x^2 dx = -(2/3)x^3 + C
   • ∫ 1 dx = x + C
   Подставляем: V = π [(1/5)x^5 - (2/3)x^3 + x] | от 1 до 2.
6. Подсчет значений: Подставим x = 2 и x = 1:
   • Для x = 2: (1/5)(2^5) - (2/3)(2^3) + 2 = (32/5) - (16/3) + 2
   • Для x = 1: (1/5)(1^5) - (2/3)(1^3) + 1 = (1/5) - (2/3) + 1
   Вычисляем: V = π [(32/5 - 16/3 + 2) - (1/5 - 2/3 + 1)].
7. Упрощение и получение результата: После упрощения получим конечный объем V.

Задача 5: Чтобы найти скорость тела, движущегося прямолинейно, мы используем данную формулу v(t) = -6t^2 + (N/C)t.

1. Определение переменных: Здесь t - время, N и C - некоторые константы. Чтобы найти скорость, нужно подставить конкретное значение t, а также значения N и C, если они известны.
2. Подстановка значений: Если, например, N = 12 и C = 3, то мы можем подставить это в формулу: v(t) = -6t^2 + (12/3)t = -6t^2 + 4t.
3. Вычисление скорости: Теперь подставляем значение t, чтобы найти скорость в данный момент времени. Например, для t = 1: v(1) = -6(1)^2 + 4(1) = -6 + 4 = -2.
4. Интерпретация результата: Если скорость отрицательна, это означает, что тело движется в противоположном направлении.

Таким образом, мы можем найти как объем тела вращения, так и скорость движения тела, используя данные формулы и шаги решения.