Похожие вопросы
2025-10-30 21:13:31
8. Найдите значение выражения (2sinα + 5cosα) / (3sinα - 4cosα), если tgα = 3/2.
Варианты:
- 16/7
- -6/7
- 16/17
- 16
Математика 11 класс Тригонометрические функции и их свойства математика 11 класс тригонометрические функции значение выражения tgα sinα cosα задачи на тригонометрию Новый
2025-10-30 21:13:51
Для нахождения значения выражения (2sinα + 5cosα) / (3sinα - 4cosα) при условии, что tgα = 3/2, начнем с того, что tgα равен отношению sinα к cosα:
Шаг 1: Определим sinα и cosα.
Мы знаем, что tgα = sinα / cosα = 3/2. Это означает, что:
- sinα = 3k
- cosα = 2k
где k - некоторый положительный коэффициент.
Шаг 2: Найдем значение k.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, sin²α + cos²α = 1. Подставим наши значения:
(3k)² + (2k)² = 1
9k² + 4k² = 1
13k² = 1
k² = 1/13
k = 1/√13
Шаг 3: Найдем sinα и cosα.
Теперь подставим значение k:
- sinα = 3(1/√13) = 3/√13
- cosα = 2(1/√13) = 2/√13
Шаг 4: Подставим sinα и cosα в выражение.
Теперь подставим найденные значения в выражение (2sinα + 5cosα) / (3sinα - 4cosα):
В числителе:
2sinα + 5cosα = 2(3/√13) + 5(2/√13) = (6 + 10) / √13 = 16 / √13
В знаменателе:
3sinα - 4cosα = 3(3/√13) - 4(2/√13) = (9 - 8) / √13 = 1 / √13
Шаг 5: Найдем значение всего выражения.
Теперь подставим числитель и знаменатель в исходное выражение:
(16 / √13) / (1 / √13) = 16.
Ответ: Значение выражения равно 16.