А) Как решить уравнение (1+tg^2x)sinx+tg^2x-1 =0? б) Как найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [2П;7П/2]?

Математика 11 класс Уравнения тригонометрические уравнение решение уравнения корни уравнения тригонометрические функции отрезок [2П;7П/2] математика tg^2x sinx Новый

Давайте начнем с решения уравнения (1 + tg²x)sinx + tg²x - 1 = 0.

Шаг 1: Подставим tg²x через sin и cos.

Мы знаем, что tgx = sinx/cosx, следовательно, tg²x = sin²x/cos²x. Подставим это в уравнение:

(1 + sin²x/cos²x)sinx + sin²x/cos²x - 1 = 0.

Шаг 2: Умножим всё уравнение на cos²x, чтобы избавиться от дробей.

Получаем:

(cos²x + sin²x)sinx + sin²x - cos²x = 0.

Так как cos²x + sin²x = 1, упростим уравнение:

sinx + sin²x - cos²x = 0.

Шаг 3: Заменим cos²x через sin²x.

Используя тождество cos²x = 1 - sin²x, получаем:

sinx + sin²x - (1 - sin²x) = 0.

Упрощаем:

sinx + sin²x - 1 + sin²x = 0.

2sin²x + sinx - 1 = 0.

Шаг 4: Решим квадратное уравнение 2sin²x + sinx - 1 = 0.

Используем формулу для решения квадратного уравнения:

sinx = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 2, b = 1, c = -1.

Подставим значения:

• b² - 4ac = 1² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9;
• √9 = 3;
• sinx = (-1 ± 3) / 4.

Получаем два решения:

• sinx = (2) / 4 = 0.5;
• sinx = (-4) / 4 = -1.

Шаг 5: Найдем x для каждого значения sinx.

Для sinx = 0.5:

x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ, где k - целое число.

Для sinx = -1:

x = 3π/2 + 2kπ, где k - целое число.

Теперь перейдем ко второй части вопроса.

б) Найдем все корни уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2].

Рассмотрим каждое значение:

1. Для sinx = 0.5:

• x = π/6 + 2kπ:
• k = 0: x = π/6 (не входит в отрезок);
• k = 1: x = π/6 + 2π = 13π/6 (входит в отрезок);
• k = 2: x = π/6 + 4π = 25π/6 (не входит в отрезок).

• x = 5π/6 + 2kπ:
• k = 0: x = 5π/6 (не входит в отрезок);
• k = 1: x = 5π/6 + 2π = 17π/6 (входит в отрезок);
• k = 2: x = 5π/6 + 4π = 29π/6 (не входит в отрезок).

2. Для sinx = -1:

• x = 3π/2 + 2kπ:
• k = 0: x = 3π/2 (входит в отрезок);
• k = 1: x = 3π/2 + 2π = 7π/2 (входит в отрезок);
• k = 2: x = 3π/2 + 4π = 11π/2 (не входит в отрезок).

Итак, все корни уравнения на отрезке [2π; 7π/2]:

• 13π/6;
• 17π/6;
• 3π/2;
• 7π/2.

Таким образом, мы нашли все корни уравнения, принадлежащие заданному отрезку.