Дана числовая последовательность: 2; 11; 26; 47; …

а) Какой следующий элемент этой последовательности? Обоснуйте свой ответ.

b) Как можно подтвердить, что число 242 входит в состав данной последовательности?

35 баллов. Рекомендуется использовать степени в ответе.

Математика 11 класс Числовые последовательности и их свойства числовая последовательность следующий элемент обоснование подтверждение число 242 состав последовательности степени математика 11 класс Новый

Рассмотрим заданную числовую последовательность: 2, 11, 26, 47, ...

а) Найдем следующий элемент этой последовательности.

Первым шагом будет определение разностей между последовательными элементами:

• 11 - 2 = 9
• 26 - 11 = 15
• 47 - 26 = 21

Теперь у нас есть последовательность разностей: 9, 15, 21. Посмотрим на разности между этими разностями:

• 15 - 9 = 6
• 21 - 15 = 6

Мы видим, что разности между разностями постоянны и равны 6. Это указывает на то, что исходная последовательность является квадратичной.

Теперь мы можем выразить n-ый элемент последовательности через n:

Пусть a(n) - n-ый элемент последовательности. Тогда:

a(n) = A*n^2 + B*n + C

Для нахождения A, B и C подставим известные значения:

• a(1) = 2: A*1^2 + B*1 + C = 2
• a(2) = 11: A*2^2 + B*2 + C = 11
• a(3) = 26: A*3^2 + B*3 + C = 26

Это дает нам систему уравнений:

1. A + B + C = 2
2. 4A + 2B + C = 11
3. 9A + 3B + C = 26

Решим систему уравнений:

Вычтем первое уравнение из второго:

(4A + 2B + C) - (A + B + C) = 11 - 2

3A + B = 9 (1)

Вычтем второе уравнение из третьего:

(9A + 3B + C) - (4A + 2B + C) = 26 - 11

5A + B = 15 (2)

Теперь вычтем (1) из (2):

(5A + B) - (3A + B) = 15 - 9

2A = 6

A = 3

Подставим A в (1):

3*3 + B = 9

9 + B = 9

B = 0

Теперь подставим A и B в первое уравнение:

3 + 0 + C = 2

C = -1

Таким образом, получили: a(n) = 3n^2 - 1.

Теперь найдем a(5):

a(5) = 3*5^2 - 1 = 3*25 - 1 = 75 - 1 = 74.

Следующий элемент последовательности: 74.

б) Как можно подтвердить, что число 242 входит в состав данной последовательности?

Для этого нам нужно проверить, существует ли такое n, что a(n) = 242.

Подставим в уравнение:

3n^2 - 1 = 242.

Решим уравнение:

3n^2 = 243

n^2 = 81

n = 9 (поскольку n должно быть натуральным числом).

Теперь проверим, действительно ли a(9) = 242:

a(9) = 3*9^2 - 1 = 3*81 - 1 = 243 - 1 = 242.

Таким образом, число 242 входит в состав данной последовательности.