Даны два комплексных числа z1=5+10i и z2=2-i. Найдите:

1. сумму z1 и z2;
2. разность z1 и z2;
3. произведение z1 и z2;
4. частное z1 и z2.

Математика 11 класс Комплексные числа комплексные числа сумма комплексных чисел разность комплексных чисел произведение комплексных чисел частное комплексных чисел Новый

Давайте решим задачу, используя данные комплексные числа z1 и z2. Напомним, что комплексное число имеет вид a + bi, где a - действительная часть, b - мнимая часть, а i - мнимая единица.

Даны:

• z1 = 5 + 10i
• z2 = 2 - i

Теперь мы найдем:

1. Сумму z1 и z2:

Сумма комплексных чисел складывается по правилам сложения действительных и мнимых частей:

• Сложим действительные части: 5 + 2 = 7
• Сложим мнимые части: 10 + (-1) = 10 - 1 = 9

Таким образом, сумма z1 и z2:

z1 + z2 = 7 + 9i

2. Разность z1 и z2:

Разность комплексных чисел вычисляется аналогично сумме:

• Вычтем действительные части: 5 - 2 = 3
• Вычтем мнимые части: 10 - (-1) = 10 + 1 = 11

Таким образом, разность z1 и z2:

z1 - z2 = 3 + 11i

3. Произведение z1 и z2:

Произведение комплексных чисел вычисляется по формуле:

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

• где a = 5, b = 10, c = 2, d = -1

Теперь подставим значения:

• Действительная часть: 5 * 2 - 10 * (-1) = 10 + 10 = 20
• Мнимая часть: 5 * (-1) + 10 * 2 = -5 + 20 = 15

Таким образом, произведение z1 и z2:

z1 * z2 = 20 + 15i

4. Частное z1 и z2:

Частное комплексных чисел вычисляется по формуле:

(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²)

• где a = 5, b = 10, c = 2, d = -1

Сначала найдем знаменатель:

• c² + d² = 2² + (-1)² = 4 + 1 = 5

Теперь найдем числитель:

• Действительная часть: 5 * 2 + 10 * (-1) = 10 - 10 = 0
• Мнимая часть: 10 * 2 - 5 * (-1) = 20 + 5 = 25

Теперь подставим числитель и знаменатель:

z1 / z2 = (0 + 25i) / 5 = 0 + 5i

Теперь подведем итог:

• Сумма: z1 + z2 = 7 + 9i
• Разность: z1 - z2 = 3 + 11i
• Произведение: z1 * z2 = 20 + 15i
• Частное: z1 / z2 = 5i