Давайте поэтапно решим все задачи, связанные с данной пирамидой, используя координаты её вершин.

1. Построение пирамиды:

Мы имеем координаты вершин пирамиды:

• A1(2; -2; 1)
• A2(10; 2; 2)
• A3(6; 1; 2)
• A4(8; 4; 4)

На графике можно изобразить эти точки в трехмерной системе координат, где каждая точка будет представлять вершину пирамиды. Пирамида будет иметь основание треугольник A1A2A3 и вершину A4.

2. Найти длину ребра A1A2:

Длину отрезка A1A2 можно найти по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

Подставим координаты A1 и A2:

• x1 = 2, y1 = -2, z1 = 1
• x2 = 10, y2 = 2, z2 = 2

Теперь вычислим:

1. (x2 - x1) = 10 - 2 = 8
2. (y2 - y1) = 2 - (-2) = 4
3. (z2 - z1) = 2 - 1 = 1

Теперь подставим в формулу:

d = √(8² + 4² + 1²) = √(64 + 16 + 1) = √81 = 9

Таким образом, длина ребра A1A2 равна 9.

3. Определить угол между ребрами A1A2 и A1A4:

Для нахождения угла между двумя векторами, нужно сначала найти векторы A1A2 и A1A4:

• Вектор A1A2 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (10 - 2, 2 - (-2), 2 - 1) = (8, 4, 1)
• Вектор A1A4 = (x4 - x1, y4 - y1, z4 - z1) = (8 - 2, 4 - (-2), 4 - 1) = (6, 6, 3)

Теперь используем формулу для нахождения угла между векторами:

cos(θ) = (A1A2 · A1A4) / (|A1A2| * |A1A4|)

Сначала найдем скалярное произведение:

A1A2 · A1A4 = 8*6 + 4*6 + 1*3 = 48 + 24 + 3 = 75

Теперь найдем длины векторов:

1. |A1A2| = √(8² + 4² + 1²) = 9 (как мы уже нашли)
2. |A1A4| = √(6² + 6² + 3²) = √(36 + 36 + 9) = √81 = 9

Теперь подставим в формулу:

cos(θ) = 75 / (9 * 9) = 75 / 81 = 25 / 27

Теперь находим угол θ:

θ = arccos(25/27)

Таким образом, угол между ребрами A1A2 и A1A4 можно найти с помощью калькулятора.

4. Вычислить площадь грани A1A2A3:

Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = 0.5 * |AB x AC|, где AB и AC - векторы, образующие треугольник.

Сначала найдем векторы:

• Вектор A1A2 = (8, 4, 1)
• Вектор A1A3 = (6 - 2, 1 - (-2), 2 - 1) = (4, 3, 1)

Теперь найдем векторное произведение A1A2 и A1A3:

A1A2 x A1A3 = |i j k|

|8 4 1|

|4 3 1|

Вычислим определитель:

1. i(4*1 - 1*3) - j(8*1 - 1*4) + k(8*3 - 4*4)
2. i(4 - 3) - j(8 - 4) + k(24 - 16)
3. i(1) - j(4) + k(8)

Получаем вектор (1, -4, 8).

Теперь найдем его длину:

|A1A2 x A1A3| = √(1² + (-4)² + 8²) = √(1 + 16 + 64) = √81 = 9.

Теперь подставим в формулу площади:

Площадь = 0.5 * 9 = 4.5.

Таким образом, площадь грани A1A2A3 равна 4.5.

5. Найти объем пирамиды:

Объем пирамиды можно вычислить по формуле:

V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота.

Площадь основания A1A2A3 мы нашли (S = 4.5). Теперь найдем высоту. Высота - это перпендикулярное расстояние от точки A4 до плоскости A1A2A3.

Для нахождения высоты можно использовать формулу:

h = |Ax + By + Cz + D| / √(A² + B² + C²), где Ax + By + Cz + D = 0 - уравнение плоскости.

Сначала найдем уравнение плоскости A1A2A3. Для этого подставим координаты вершин и найдем нормальный вектор плоскости. Он равен векторному произведению A1A2 и A1A3, что мы уже нашли (1, -4, 8).

Теперь подставим в уравнение плоскости:

1*(x - 2) - 4*(y + 2) + 8*(z - 1) = 0.

Упрощаем: x - 2 - 4y - 8 + 8z - 8 = 0.

Получаем уравнение плоскости: x - 4y + 8z - 18 = 0.

Теперь подставим координаты A4(8, 4, 4):

h = |1*8 - 4*4 + 8*4 - 18| / √(1² + (-4)² + 8²) = |8 - 16 + 32 - 18| / 9 = |6| / 9 = 2/3.

Теперь подставим в формулу объема:

V = (1/3) * 4.5 * (2/3) = 3.

Таким образом, объем пирамиды равен 3.

Итак, в результате мы нашли:

• Длина ребра A1A2 = 9
• Угол между ребрами A1A2 и A1A4 = arccos(25/27)
• Площадь грани A1A2A3 = 4.5
• Объем пирамиды = 3