Чтобы найти произведение рангов матриц A и B, сначала необходимо определить ранги каждой из этих матриц.

Ранг матрицы - это максимальное количество линейно независимых строк (или столбцов) в матрице. Мы можем использовать метод Гаусса для приведения матрицы к ступенчатому виду, чтобы найти ранг.

Матрица A выглядит так:

A = (-1 2 0; 3 2 -3; 4 0 -3)

Приведем матрицу A к ступенчатому виду:

1. Первую строку оставим без изменений:

(-1 2 0)

2. Теперь сделаем нули под первым элементом первой строки. Для этого заменим вторую строку:

2-я строка = 2-я строка + 3 * 1-я строка:

(3 2 -3) + 3 * (-1 2 0) = (0 8 -9)

3. Третью строку также изменим:

3-я строка = 3-я строка + 4 * 1-я строка:

(4 0 -3) + 4 * (-1 2 0) = (0 8 -3)

Теперь матрица A выглядит так:

(-1 2 0; 0 8 -9; 0 8 -3)

4. Теперь сделаем нули под вторым элементом второй строки. Для этого заменим третью строку:

3-я строка = 3-я строка - 1 * 2-я строка:

(0 8 -3) - (0 8 -9) = (0 0 6)

Теперь матрица A в ступенчатом виде:

(-1 2 0; 0 8 -9; 0 0 6)

В этой матрице три ненулевых строки, следовательно, ранг матрицы A равен 3.

Матрица B выглядит так:

B = (2 0 -1 3; -6 0 3 -9; 4 0 -2 6)

Приведем матрицу B к ступенчатому виду:

1. Первую строку оставим без изменений:

(2 0 -1 3)

2. Теперь сделаем нули под первым элементом первой строки. Для этого заменим вторую строку:

2-я строка = 2-я строка + 3 * 1-я строка:

(-6 0 3 -9) + 3 * (2 0 -1 3) = (0 0 0 0)

3. Третью строку изменим:

3-я строка = 3-я строка - 2 * 1-я строка:

(4 0 -2 6) - 2 * (2 0 -1 3) = (0 0 0 0)

Теперь матрица B выглядит так:

(2 0 -1 3; 0 0 0 0; 0 0 0 0)

В этой матрице только одна ненулевая строка, следовательно, ранг матрицы B равен 1.

Теперь мы можем найти произведение рангов матриц A и B:

r(A) * r(B) = 3 * 1 = 3.

Таким образом, ответ на вопрос: 3.