Чтобы доказать, что функция F(x) = x^2 + sin(x) + 7 является первообразной для функции f(x) = 2x + cos(x), нам необходимо показать, что производная функции F(x) равна функции f(x).

Следуем следующему алгоритму:

1. Находим производную функции F(x):
• F(x) = x^2 + sin(x) + 7
• Используем правила дифференцирования:
• Производная x^2 равна 2x.
• Производная sin(x) равна cos(x).
• Производная константы 7 равна 0.
• Таким образом, производная F(x) будет равна:
• F'(x) = 2x + cos(x).
2. Сравниваем F'(x) с f(x):
• Мы знаем, что f(x) = 2x + cos(x).
• Теперь сравним: F'(x) = 2x + cos(x) и f(x) = 2x + cos(x).
3. Делаем вывод:
• Так как F'(x) = f(x), это означает, что функция F(x) является первообразной для функции f(x).

Таким образом, мы доказали, что F(x) = x^2 + sin(x) + 7 является первообразной для функции f(x) = 2x + cos(x).