Чтобы доказать, что точки A, B, C и D являются вершинами параллелограмма, нам нужно показать, что две пары противоположных сторон равны по длине. Для этого мы будем использовать формулу для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве.

Давайте обозначим координаты точек:

• A(-2; 0; 5)
• B(-1; 2; 3)
• C(1; 1; -3)
• D(0; -1; -1)

Формула для расстояния между двумя точками (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) в трехмерном пространстве выглядит так:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

Теперь вычислим длины сторон AB, BC, CD и DA:

1. Длина AB:

Подставляем координаты точек A и B:

d(AB) = √((-1 - (-2))² + (2 - 0)² + (3 - 5)²)

d(AB) = √((1)² + (2)² + (-2)²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3

2. Длина BC:

Подставляем координаты точек B и C:

d(BC) = √((1 - (-1))² + (1 - 2)² + (-3 - 3)²)

d(BC) = √((2)² + (-1)² + (-6)²) = √(4 + 1 + 36) = √41

3. Длина CD:

Подставляем координаты точек C и D:

d(CD) = √((0 - 1)² + (-1 - 1)² + (-1 - (-3))²)

d(CD) = √((-1)² + (-2)² + (2)²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3

4. Длина DA:

Подставляем координаты точек D и A:

d(DA) = √((-2 - 0)² + (0 - (-1))² + (5 - (-1))²)

d(DA) = √((-2)² + (1)² + (6)²) = √(4 + 1 + 36) = √41

Теперь мы имеем:

• d(AB) = 3
• d(BC) = √41
• d(CD) = 3
• d(DA) = √41

Мы видим, что:

• d(AB) = d(CD) = 3
• d(BC) = d(DA) = √41

Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны параллелограмма равны. Следовательно, точки A, B, C и D являются вершинами параллелограмма.