Если p и k - это положительные целые числа, и произведение p в кубе и k в четвертой степени равно 2000, то каково значение суммы p и k? Варианты ответа:

• (А) 9
• (Б) 7
• (В) 6
• (Г) 4
• (Д) 3

Смотрел ответы - получилось p=5, k=2, но объясните, пожалуйста, как?

Математика 11 класс Уравнения с целыми числами математика 11 класс произведение p в кубе k в четвертой сумма p и k решение уравнения положительные целые числа задача на нахождение суммы объяснение решения задачи Новый

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.

У нас есть уравнение:

p^3 * k^4 = 2000

Первым делом, давайте разложим число 2000 на множители. Это поможет нам понять, какие значения могут принимать p и k.

1. 2000 = 2^4 * 5^3

Теперь, зная разложение, мы можем записать уравнение в терминах p и k:

p^3 * k^4 = 2^4 * 5^3

Теперь давайте выразим p и k через их множители:

Пусть:

• p = 2^a * 5^b
• k = 2^c * 5^d

Тогда:

p^3 = (2^a * 5^b)^3 = 2^{3a} * 5^{3b}

k^4 = (2^c * 5^d)^4 = 2^{4c} * 5^{4d}

Теперь подставим p^3 и k^4 в уравнение:

2^{3a + 4c} * 5^{3b + 4d} = 2^4 * 5^3

Теперь мы можем приравнять показатели при одинаковых основаниях:

• 3a + 4c = 4
• 3b + 4d = 3

Рассмотрим первое уравнение:

3a + 4c = 4

Поскольку a и c - целые неотрицательные числа, давайте подберем возможные значения:

• Если c = 0, то 3a = 4, что не имеет целочисленного решения.
• Если c = 1, то 3a + 4 = 4, отсюда a = 0.
• Если c = 2, то 3a + 8 = 4, что не имеет решения.

Таким образом, единственное решение для первого уравнения: a = 0, c = 1.

Теперь рассмотрим второе уравнение:

3b + 4d = 3

• Если d = 0, то 3b = 3, отсюда b = 1.
• Если d = 1, то 3b + 4 = 3, что не имеет решения.

Таким образом, единственное решение для второго уравнения: b = 1, d = 0.

Теперь мы можем найти значения p и k:

• p = 2^0 * 5^1 = 5
• k = 2^1 * 5^0 = 2

Теперь находим сумму p и k:

p + k = 5 + 2 = 7

Таким образом, правильный ответ - (Б) 7.