Иррациональные неравенства - это неравенства, в которых одна или обе стороны содержат иррациональные выражения, обычно с корнями. Рассмотрим несколько примеров и разберем их решения шаг за шагом.

Пример 1: Решение неравенства с квадратным корнем

Рассмотрим неравенство:

√(x + 3) > 2

Шаг 1: Найдем область определения. Поскольку под корнем должно быть неотрицательное число, для этого:

• x + 3 ≥ 0
• x ≥ -3

Таким образом, область определения: x ≥ -3.

Шаг 2: Изолируем корень. Для этого возведем обе стороны неравенства в квадрат:

(√(x + 3))² > 2²

Это упрощается до:

x + 3 > 4

Шаг 3: Решим полученное неравенство:

x > 1

Шаг 4: Объединим результаты. У нас есть область определения x ≥ -3 и решение x > 1. Таким образом, окончательное решение:

x > 1 и x ≥ -3 приводит к x > 1.

Пример 2: Решение неравенства с несколькими корнями

Рассмотрим неравенство:

√(2x - 1) ≤ 3

Шаг 1: Найдем область определения. Под корнем должно быть неотрицательное число:

• 2x - 1 ≥ 0
• x ≥ 0.5

Таким образом, область определения: x ≥ 0.5.

Шаг 2: Изолируем корень. Возведем обе стороны неравенства в квадрат:

(√(2x - 1))² ≤ 3²

Это упрощается до:

2x - 1 ≤ 9

Шаг 3: Решим полученное неравенство:

2x ≤ 10

x ≤ 5

Шаг 4: Объединим результаты. У нас есть область определения x ≥ 0.5 и решение x ≤ 5. Таким образом, окончательное решение:

0.5 ≤ x ≤ 5.

Итог

Мы рассмотрели два примера иррациональных неравенств. Важно помнить, что при работе с корнями необходимо учитывать область определения, чтобы избежать несуществующих значений. В каждом случае мы изолировали корень, возводили в квадрат, а затем решали полученные неравенства.