Для исследования функции f(x) = 9x^5 + 3x^3, мы пройдём несколько шагов: найдем производную функции, определим критические точки, исследуем знаки производной, а затем рассмотрим поведение функции на интервалах.

Производная функции f(x) будет:

• f'(x) = d/dx(9x^5) + d/dx(3x^3) = 45x^4 + 9x^2.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В данном случае, f'(x) = 0:

• 45x^4 + 9x^2 = 0.
• 9x^2(5x^2 + 1) = 0.

Из этого уравнения видно, что:

• 9x^2 = 0 → x = 0.
• 5x^2 + 1 = 0 → нет действительных решений (так как 5x^2 + 1 всегда положительно).

Таким образом, единственная критическая точка - это x = 0.

Теперь мы определим знак производной на интервалах, разделенных критической точкой:

• Для x < 0: f'(x) = 45x^4 + 9x^2 > 0 (так как оба слагаемых положительны).
• Для x = 0: f'(0) = 0.
• Для x > 0: f'(x) = 45x^4 + 9x^2 > 0 (также положительно).

Таким образом, функция f(x) возрастает на интервале (-∞, 0) и (0, +∞), и в точке x = 0 имеет минимум.

Теперь подставим x = 0 в функцию:

• f(0) = 9(0)^5 + 3(0)^3 = 0.

Таким образом, точка (0, 0) является минимумом функции.

Теперь рассмотрим пределы функции при подходе к бесконечности:

• При x → +∞: f(x) → +∞.
• При x → -∞: f(x) → -∞.

Исходя из всех проведенных исследований, мы можем сделать вывод, что график функции:

• Убывает на интервале (-∞, 0).
• Имеет минимум в точке (0, 0).
• Возрастает на интервале (0, +∞).

График будет выглядеть как "U"-образная кривая, которая проходит через точку (0, 0), уходит вниз влево и вверх вправо.

Теперь вы можете нарисовать график функции, основываясь на этих данных. Если у вас есть доступ к графическим инструментам, вы можете использовать их для более точного построения графика.