Как можно доказать два следствия Теоремы Безу?

1. Если 𝛼1, 𝛼2, ... , 𝛼𝑛 - различные корни многочлена Р(х), то многочлен Р(х) делится на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛).
2. Число различных корней ненулевого многочлена не больше, чем степень этого многочлена.

Математика 11 класс Теорема Безу и свойства многочленов теорема Безу следствия Теоремы Безу доказательство следствий многочлен Р(х) корни многочлена степень многочлена делимость многочлена свойства многочленов математические теоремы алгебраические выражения Новый

Давайте рассмотрим два следствия Теоремы Безу и попробуем их доказать шаг за шагом.

Следствие 1: Если 𝛼1, 𝛼2, ... , 𝛼𝑛 - различные корни многочлена Р(х), то многочлен Р(х) делится на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛).

Для доказательства этого следствия воспользуемся определением корня многочлена. Если 𝛼 - корень многочлена Р(х), то по определению верно, что:

• Р(𝛼) = 0.

Теперь, если у нас есть n различных корней 𝛼1, 𝛼2, ..., 𝛼n, это означает, что:

• Р(𝛼1) = 0,
• Р(𝛼2) = 0,
• ... ,
• Р(𝛼n) = 0.

По теореме о делении многочлена, мы можем записать Р(х) в виде:

• Р(х) = (х - 𝛼1)(х - 𝛼2)...(х - 𝛼n)Q(х),

где Q(х) - некоторый многочлен. Это и доказывает, что многочлен Р(х) делится на (х - 𝛼1)(х - 𝛼2)...(х - 𝛼n).

Следствие 2: Число различных корней ненулевого многочлена не больше, чем степень этого многочлена.

Для доказательства этого следствия рассмотрим многочлен Р(х) степени n. По теореме, он может иметь не более n корней. Если бы у многочлена было больше n различных корней, то он мог бы быть представлен в виде произведения n линейных множителей:

• Р(х) = (х - 𝛼1)(х - 𝛼2)...(х - 𝛼n)Q(х),

где Q(х) - многочлен, степень которого должна была бы быть хотя бы 1, чтобы учесть дополнительные корни. Однако это противоречит тому, что Р(х) имеет степень n. Таким образом, число различных корней не может превышать степень многочлена.

Таким образом, оба следствия Теоремы Безу доказаны.