Как можно доказать истинность равенства с помощью определения равных множеств: (АП B) u (CND) = (AUC) n (BUC) n (AUD) n (BUD)? Также, каким образом можно подтвердить истинность равенства, используя свойства операций над множествами: А∩ B = AUB?

Математика 11 класс Теория множеств доказательство равенства множеств операции над множествами свойства множеств равные множества объединение и пересечение множеств математические доказательства теория множеств Новый

Чтобы доказать истинность равенства (A ∩ B) ∪ (C ∩ D) = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) ∩ (A ∪ D) ∩ (B ∪ D), мы воспользуемся определением равных множеств и свойствами операций над множествами.

Шаг 1: Доказательство с использованием определения равных множеств

Согласно определению равных множеств, два множества равны, если они содержат одни и те же элементы. Мы будем показывать, что любое элемент, принадлежащий левой части равенства, также принадлежит правой части, и наоборот.

Левая часть:

Рассмотрим элемент x, который принадлежит (A ∩ B) ∪ (C ∩ D). Это означает, что x принадлежит либо (A ∩ B), либо (C ∩ D).

• Если x принадлежит (A ∩ B), то x принадлежит A и x принадлежит B. Следовательно, x принадлежит A ∪ C и x принадлежит B ∪ C, а также x принадлежит A ∪ D и x принадлежит B ∪ D. Таким образом, x принадлежит (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) ∩ (A ∪ D) ∩ (B ∪ D).
• Если x принадлежит (C ∩ D), то x принадлежит C и x принадлежит D. В этом случае x не обязательно принадлежит A или B, но мы можем сказать, что x принадлежит A ∪ C и x принадлежит B ∪ C, а также x принадлежит A ∪ D и x принадлежит B ∪ D. Таким образом, x также принадлежит правой части равенства.

Правая часть:

Теперь рассмотрим элемент y, который принадлежит (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) ∩ (A ∪ D) ∩ (B ∪ D).

• Это означает, что y принадлежит A ∪ C, B ∪ C, A ∪ D и B ∪ D. Если y принадлежит A, то y принадлежит A ∩ B, если y принадлежит B, то y принадлежит A ∩ B. Таким образом, в любом случае y принадлежит (A ∩ B).
• Если y принадлежит C, то y также принадлежит (C ∩ D), и следовательно, y принадлежит левой части равенства.

Таким образом, мы доказали, что (A ∩ B) ∪ (C ∩ D) = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) ∩ (A ∪ D) ∩ (B ∪ D).

Шаг 2: Доказательство с использованием свойств операций над множествами

Теперь давайте подтвердим истинность равенства, используя свойства операций над множествами, включая дистрибутивность.

Мы знаем, что A ∩ B = A ∪ B означает, что пересечение можно выразить через объединение. Применяя это свойство, мы можем переформулировать левую часть равенства:

• Рассмотрим (A ∩ B) как A ∪ B, и получаем (A ∪ B) ∪ (C ∩ D).
• Используя дистрибутивность, мы можем записать это как (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) ∩ (A ∪ D) ∩ (B ∪ D).

Таким образом, мы подтверждаем, что обе стороны равенства эквивалентны, и равенство действительно верно.

В итоге, мы доказали истинность равенства как с помощью определения равных множеств, так и с использованием свойств операций над множествами.