Как можно доказать тождество cos(a + B) * cos(a - B) = 2 * cos(a) * cos(B)?

Математика 11 класс Тригонометрические тождества тождество косинусов доказательство тождества математика 11 класс cos(a + B) cos(a - B) 2 * cos(a) * cos(B) Тригонометрия свойства косинуса Новый

Для того чтобы доказать тождество cos(a + B) * cos(a - B) = 2 * cos(a) * cos(B), мы можем воспользоваться формулами для косинуса суммы и разности углов.

Шаги решения:

1. Используем формулы для косинуса суммы и разности:
• cos(a + B) = cos(a) * cos(B) - sin(a) * sin(B)
• cos(a - B) = cos(a) * cos(B) + sin(a) * sin(B)
2. Теперь подставим эти формулы в левую часть нашего тождества:
• cos(a + B) * cos(a - B) = (cos(a) * cos(B) - sin(a) * sin(B)) * (cos(a) * cos(B) + sin(a) * sin(B))
3. Теперь применим формулу разности квадратов:
• (x - y)(x + y) = x² - y², где x = cos(a) * cos(B) и y = sin(a) * sin(B).
4. Таким образом, мы получаем:
• cos(a + B) * cos(a - B) = (cos(a) * cos(B))² - (sin(a) * sin(B))²
5. Теперь упростим полученное выражение:
• (cos(a) * cos(B))² = cos²(a) * cos²(B)
• (sin(a) * sin(B))² = sin²(a) * sin²(B)
6. Таким образом, мы можем записать:
• cos(a + B) * cos(a - B) = cos²(a) * cos²(B) - sin²(a) * sin²(B)
7. Теперь воспользуемся известным тождеством cos²(x) = 1 - sin²(x):
• cos²(a) = 1 - sin²(a)
• cos²(B) = 1 - sin²(B)
8. Подставляем это в выражение:
• cos(a + B) * cos(a - B) = (1 - sin²(a)) * (1 - sin²(B)) - sin²(a) * sin²(B)
9. Раскроем скобки:
• cos(a + B) * cos(a - B) = 1 - sin²(a) - sin²(B) + sin²(a) * sin²(B) - sin²(a) * sin²(B)
10. Упрощаем:
• cos(a + B) * cos(a - B) = 1 - sin²(a) - sin²(B)
11. Теперь вспомним, что cos²(a) + sin²(a) = 1 и cos²(B) + sin²(B) = 1. Таким образом:
• cos(a + B) * cos(a - B) = cos²(a) + cos²(B) - 1
12. Теперь мы можем выразить правую часть тождества:
• 2 * cos(a) * cos(B) = cos²(a) + cos²(B) - 1
13. Таким образом, мы доказали, что:
• cos(a + B) * cos(a - B) = 2 * cos(a) * cos(B).

Тождество доказано!