Как можно исследовать функцию и схематически построить ее график для уравнения: y = x^2 / e^x?

Математика 11 класс Исследование функций исследование функции построение графика уравнение y = x^2 / e^x анализ функции математика 11 класс Новый

Чтобы исследовать функцию y = x^2 / e^x и построить ее график, мы можем следовать нескольким шагам. Давайте разберем их по порядку.

1. Определение области определения

Функция y = x^2 / e^x определена для всех значений x, поскольку e^x > 0 для любого x. Таким образом, область определения функции – это все действительные числа, то есть (-∞, +∞).

2. Нахождение производной

Для исследования функции нам нужно найти ее производную, чтобы определить точки экстремума и поведение функции. Используем правило деления:

1. y = u/v, где u = x^2 и v = e^x.
2. Производная y' = (u'v - uv') / v^2, где u' = 2x и v' = e^x.

Подставляем:

y' = (2x * e^x - x^2 * e^x) / (e^x)^2 = e^x(2x - x^2) / e^(2x).

Упрощаем:

y' = (2x - x^2) / e^x.

3. Нахождение критических точек

Для нахождения критических точек приравниваем производную к нулю:

2x - x^2 = 0.

Решаем это уравнение:

1. x(2 - x) = 0.
2. Таким образом, x = 0 или x = 2.

4. Исследование знаков производной

Теперь нужно исследовать знаки производной в интервалах, определяемых критическими точками:

• Для x < 0: y' > 0 (функция возрастает).
• Для 0 < x < 2: y' < 0 (функция убывает).
• Для x > 2: y' > 0 (функция возрастает).

5. Нахождение значений функции в критических точках

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• y(0) = 0^2 / e^0 = 0.
• y(2) = 2^2 / e^2 = 4 / e^2.

6. Анализ пределов

Теперь исследуем поведение функции при стремлении x к бесконечности и минус бесконечности:

• При x → -∞: y → ∞ (так как x^2 растет быстрее, чем e^x убывает).
• При x → +∞: y → 0 (так как e^x растет быстрее, чем x^2).

7. Составление таблицы значений и построение графика

Теперь мы можем составить таблицу значений функции и построить ее график:

• Точка (0, 0) – минимум.
• Точка (2, 4/e^2) – максимум.
• При x < 0 функция возрастает, достигает максимума в точке (2, 4/e^2), затем убывает.
• При x > 2 функция снова начинает возрастать, но стремится к 0.

Теперь, имея всю эту информацию, вы можете схематически построить график функции y = x^2 / e^x, отмечая критические точки и асимптоты. График будет выглядеть как кривая, которая поднимается слева, достигает максимума, а затем уходит вниз и стремится к оси абсцисс при x → +∞.