Как можно определить частное решение дифференциального уравнения: ydx + ctgxdy = 0, при условии, что y = -1 и x = π/3?

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения частное решение Дифференциальное уравнение ydx + ctgxdy = 0 y = -1 x = π/3 математика 11 класс Новый

Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения ydx + ctgxdy = 0 при заданных условиях y = -1 и x = π/3, сначала нам нужно решить это уравнение.

Шаг 1: Приведем уравнение к более удобному виду. Мы можем выразить dy через dx:

• Перепишем уравнение: ydx + ctgxdy = 0.
• Переносим ctgxdy на другую сторону: ydx = -ctgxdy.
• Теперь делим обе стороны на y и ctgx, чтобы выразить dy/dx:

Получаем:

dy/dx = -y / (ctgx).

Шаг 2: Теперь мы можем решить это уравнение. Это уравнение можно решить методом разделения переменных:

• Переписываем уравнение: dy/y = -dx/(ctgx).

Шаг 3: Интегрируем обе стороны:

• Интеграл слева: ∫(1/y) dy = ln|y|.
• Интеграл справа: ∫(-dx/(ctgx)) = -∫(sinx/cosx) dx = -ln|cosx|.

Таким образом, мы получаем:

ln|y| = -ln|cosx| + C, где C - константа интегрирования.

Шаг 4: Экспоненцируем обе стороны, чтобы избавиться от логарифмов:

|y| = e^C / |cosx|.

Теперь обозначим e^C как K (положительная константа):

y = K / cosx.

Шаг 5: Теперь мы можем использовать начальные условия y = -1 и x = π/3, чтобы найти K:

Подставляем x = π/3 в уравнение:

-1 = K / cos(π/3).

Зная, что cos(π/3) = 1/2, получаем:

-1 = K / (1/2).

Умножаем обе стороны на 1/2:

K = -1/2.

Шаг 6: Теперь подставим K обратно в уравнение:

y = -1/2 / cosx.

Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее условиям y = -1 и x = π/3, имеет вид:

y = -1/(2cosx).

Это и есть искомое частное решение.