Как можно определить общее решение для уравнения y''' - y' = x² + x?

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения третьего порядка определение общего решения уравнение y''' - y' решение уравнения математика 11 класс методы решения уравнений Новый

Чтобы найти общее решение уравнения третьего порядка y''' - y' = x² + x, нам нужно выполнить несколько шагов. Рассмотрим их по порядку:

1. Найти общее решение однородного уравнения.

Сначала мы решим однородное уравнение, которое получается, если приравнять правую часть к нулю:

y''' - y' = 0.

Решение этого уравнения можно найти, предположив, что y имеет вид e^(rx), где r - некоторый параметр. Подставляем это предположение в уравнение:

r^3 * e^(rx) - r * e^(rx) = 0.

Факторизуем:

e^(rx) * (r^3 - r) = 0.

Поскольку e^(rx) не равно нулю, мы можем решить уравнение:

r^3 - r = 0.

Это уравнение можно факторизовать:

r(r^2 - 1) = 0.

Таким образом, мы получаем корни: r = 0, r = 1, r = -1.

Теперь мы можем записать общее решение однородного уравнения:

y_h = C1 + C2 * e^x + C3 * e^(-x),

где C1, C2, C3 - произвольные константы.

2. Найти частное решение неоднородного уравнения.

Теперь мы ищем частное решение для уравнения:

y''' - y' = x² + x.

Для этого мы можем использовать метод подбора. Предположим, что частное решение имеет вид:

y_p = Ax² + Bx + C,

где A, B, C - некоторые коэффициенты, которые нам нужно определить.

Теперь найдем производные:

• y_p' = 2Ax + B,
• y_p'' = 2A,
• y_p''' = 0.

Подставляем эти производные в уравнение:

0 - (2Ax + B) = x² + x.

Таким образом, получаем:

-2Ax - B = x² + x.

Теперь приравниваем коэффициенты:

• Для x²: 0 = 1 (это неравенство, значит, A = -1/2),
• Для x: -2A = 1 (подставляем A = -1/2, получаем B = 1),
• Для свободного члена: -B = 0 (значит, C = 0).

Таким образом, частное решение будет:

y_p = -1/2 * x² + x.

3. Записать общее решение уравнения.

Теперь мы можем записать общее решение исходного уравнения, складывая общее решение однородного уравнения и частное решение:

y = y_h + y_p = C1 + C2 * e^x + C3 * e^(-x) - 1/2 * x² + x.

Таким образом, общее решение уравнения y''' - y' = x² + x имеет вид:

y = C1 + C2 * e^x + C3 * e^(-x) - 1/2 * x² + x.