Как можно определить первообразную для функции f(x)=2x-5x², если известно, что график этой функции проходит через точку (-1;5)?

Математика 11 класс Интегрирование и нахождение первообразной определить первообразную функция f(x) график функции точка (-1;5) математика 11 класс Новый

Для определения первообразной функции f(x) = 2x - 5x², мы сначала найдем ее неопределенный интеграл. Это позволит нам получить общее выражение для первообразной, а затем, зная, что график функции проходит через точку (-1; 5), мы сможем найти конкретную постоянную интегрирования.

Шаги решения:

1. Найдем неопределенный интеграл функции f(x).

Интегрируем функцию по переменной x:

• Интеграл от 2x равен x².
• Интеграл от -5x² равен -5/3 * x³.

Таким образом, неопределенный интеграл будет выглядеть так:

F(x) = x² - (5/3)x³ + C, где C - постоянная интегрирования.
2. Используем условие, что график функции проходит через точку (-1; 5).

Подставим координаты точки в полученное выражение для первообразной:

F(-1) = 5.

Теперь подставим x = -1 в выражение для F(x):

F(-1) = (-1)² - (5/3)(-1)³ + C.

Это упростится до:

F(-1) = 1 + (5/3) + C = 5.
3. Решим уравнение для нахождения C.

Теперь у нас есть уравнение:

1 + (5/3) + C = 5.

Сначала найдем сумму 1 + (5/3):

1 = 3/3, поэтому 1 + (5/3) = (3/3) + (5/3) = (8/3).

Теперь подставим это значение в уравнение:

(8/3) + C = 5.

Вычтем (8/3) из обеих сторон:

C = 5 - (8/3) = (15/3) - (8/3) = 7/3.
4. Запишем окончательный ответ.

Теперь мы можем записать первообразную функции:

F(x) = x² - (5/3)x³ + 7/3.

Таким образом, первообразная функции f(x) = 2x - 5x², которая проходит через точку (-1; 5), равна F(x) = x² - (5/3)x³ + 7/3.