Как можно определить все натуральные n, для которых следующие выражения являются составными числами: а) n^4+64; b) n^4+n^2+1?

Математика 11 класс Составные числа и методы их определения определение натуральных n составные числа n^4+64 n^4+n^2+1 математика 11 класс Новый

Чтобы определить все натуральные n, для которых выражения n^4 + 64 и n^4 + n^2 + 1 являются составными числами, мы рассмотрим каждое выражение отдельно.

1. Рассмотрим выражение n^4 + 64.

Это выражение можно представить в виде суммы двух квадратов:

• n^4 + 64 = n^4 + 8^2.

Однако, для поиска составных чисел, мы можем использовать разложение на множители:

• n^4 + 64 = (n^2 + 8)(n^2 - 8n + 16).

Теперь нам нужно, чтобы оба множителя были больше 1, так как только в этом случае произведение будет составным числом.

Рассмотрим каждый множитель:

• n^2 + 8 > 1 для всех натуральных n, так как n^2 ≥ 1.
• n^2 - 8n + 16 > 1.

Решим неравенство:

• n^2 - 8n + 15 > 0.

Это квадратное неравенство можно решить, найдя корни:

• Дискриминант D = (-8)^2 - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4.
• Корни: n1 = (8 - 2) / 2 = 3; n2 = (8 + 2) / 2 = 5.

Теперь определим промежутки:

• n^2 - 8n + 15 > 0, когда n < 3 или n > 5.

Таким образом, для n^4 + 64 составными числами будут все натуральные n, такие что n < 3 или n > 5, т.е. n = 1, 2, 6, 7, 8 и так далее.

2. Теперь рассмотрим выражение n^4 + n^2 + 1.

Это выражение также можно проанализировать:

• n^4 + n^2 + 1 = (n^2)^2 + (n^2) + 1.

Это выражение является квадратным по n^2. Для n^2 = x, получаем:

• x^2 + x + 1.

Чтобы определить, является ли это выражение составным, найдем его дискриминант:

• D = 1^2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3.

Так как дискриминант отрицательный, это выражение не имеет действительных корней и всегда положительно для всех натуральных n. Однако, мы можем проверить, является ли оно составным для конкретных значений n:

• n = 1: 1^4 + 1^2 + 1 = 3 (простое).
• n = 2: 2^4 + 2^2 + 1 = 21 (составное).
• n = 3: 3^4 + 3^2 + 1 = 91 (составное).
• n = 4: 4^4 + 4^2 + 1 = 273 (составное).
• n = 5: 5^4 + 5^2 + 1 = 651 (составное).

Таким образом, для n^4 + n^2 + 1 мы видим, что при n = 1 это простое число, а при n ≥ 2 это составные числа.

Итак, подводя итог:

• Для n^4 + 64 составные числа при n = 1, 2, 6, 7, ...
• Для n^4 + n^2 + 1 составные числа при n ≥ 2.