Как можно проанализировать функцию F(x)=-2x^3+3x^2+12x, используя производную, и построить её график?

Математика 11 класс Исследование функций анализ функции производная функции график функции F(x)=-2x^3+3x^2+12x математика 11 класс нахождение производной построение графика Новый

Для анализа функции F(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x с использованием производной, мы будем следовать нескольким шагам. Давайте рассмотрим их по порядку.

Шаг 1: Найдем производную функции F(x)

Производная функции показывает, как изменяется функция в зависимости от изменения переменной x. Для нахождения производной F(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x, воспользуемся правилами дифференцирования:

• Производная от x^n = n*x^(n-1).

Теперь применим это правило к каждому члену функции:

• Производная от -2x^3 = -6x^2.
• Производная от 3x^2 = 6x.
• Производная от 12x = 12.

Таким образом, производная F'(x) будет равна:

F'(x) = -6x^2 + 6x + 12.

Шаг 2: Найдем критические точки

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Для нахождения критических точек решим уравнение:

-6x^2 + 6x + 12 = 0.

Упростим уравнение, разделив на -6:

x^2 - x - 2 = 0.

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью формулы корней:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -2.

• Дискриминант D = (-1)^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9.
• Корни: x1 = (1 + 3) / 2 = 2 и x2 = (1 - 3) / 2 = -1.

Шаг 3: Определим интервалы возрастания и убывания

Теперь, чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции, исследуем знак производной F'(x) на интервалах, которые определяются критическими точками:

• Интервал (-∞, -1)
• Интервал (-1, 2)
• Интервал (2, +∞)

Выберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для x = -2 (интервал (-∞, -1)): F'(-2) = -6(-2)^2 + 6(-2) + 12 = -24 - 12 + 12 = -24 (отрицательное).
• Для x = 0 (интервал (-1, 2)): F'(0) = -6(0)^2 + 6(0) + 12 = 12 (положительное).
• Для x = 3 (интервал (2, +∞)): F'(3) = -6(3)^2 + 6(3) + 12 = -54 + 18 + 12 = -24 (отрицательное).

Таким образом, мы имеем:

• Функция убывает на интервале (-∞, -1).
• Функция возрастает на интервале (-1, 2).
• Функция убывает на интервале (2, +∞).

Шаг 4: Найдем значения функции в критических точках

Теперь найдем значения функции F(x) в критических точках:

• F(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) = 2 + 3 - 12 = -7.
• F(2) = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) = -16 + 12 + 24 = 20.

Шаг 5: Построим график функции

Теперь, имея информацию о критических точках, интервалах возрастания и убывания, а также значениях функции в критических точках, мы можем построить график:

• Критическая точка x = -1, значение F(-1) = -7 (максимум).
• Критическая точка x = 2, значение F(2) = 20 (минимум).

График будет иметь форму кубической функции, с максимумом в точке (-1, -7) и минимумом в точке (2, 20). Он будет убывать до x = -1, затем возрастать до x = 2 и снова убывать после этого.

Таким образом, мы проанализировали функцию F(x) с помощью производной и получили полное представление о её поведении.