Как можно проанализировать функцию f(x)=-2x^3+3x^2+12x с использованием производной?

Математика 11 класс Исследование функций с помощью производной анализ функции производная F(x)=-2x^3+3x^2+12x экстремумы функции график функции поведение функции критические точки Новый

Чтобы проанализировать функцию f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x с использованием производной, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

1. Найти производную функции f(x).

Производная функции f(x) обозначается как f'(x) и вычисляется по правилам дифференцирования. В данном случае:

• Производная от -2x^3 равна -6x^2.
• Производная от 3x^2 равна 6x.
• Производная от 12x равна 12.

Таким образом, производная функции f(x) будет:

f'(x) = -6x^2 + 6x + 12.

2. Найти критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Для нахождения критических точек, приравняем f'(x) к нулю:

-6x^2 + 6x + 12 = 0.

Упростим уравнение, разделив обе стороны на -6:

x^2 - x - 2 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = -1, c = -2.

Подставим значения:

x = (1 ± √((-1)² - 4 * 1 * (-2))) / (2 * 1) = (1 ± √(1 + 8)) / 2 = (1 ± 3) / 2.

Таким образом, мы получаем:

• x1 = 2
• x2 = -1
3. Определить интервалы возрастания и убывания.

Для этого нужно проанализировать знак производной f'(x) на интервалах, которые образованы критическими точками:

• Интервал (-∞, -1)
• Интервал (-1, 2)
• Интервал (2, +∞)

Теперь подставим тестовые значения из каждого интервала в производную f'(x):

• Для x = -2 (интервал (-∞, -1)): f'(-2) = -6(-2)^2 + 6(-2) + 12 = -24 - 12 + 12 = -24 (отрицательное)
• Для x = 0 (интервал (-1, 2)): f'(0) = -6(0)^2 + 6(0) + 12 = 12 (положительное)
• Для x = 3 (интервал (2, +∞)): f'(3) = -6(3)^2 + 6(3) + 12 = -54 + 18 + 12 = -24 (отрицательное)

Таким образом, мы можем сделать вывод:

• Функция убывает на интервале (-∞, -1).
• Функция возрастает на интервале (-1, 2).
• Функция убывает на интервале (2, +∞).
4. Найти точки экстремума.

Теперь мы можем найти значения функции в критических точках:

f(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) = 2 + 3 - 12 = -7.

f(2) = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) = -16 + 12 + 24 = 20.

Таким образом, у нас есть:

• Минимум в точке (-1, -7).
• Максимум в точке (2, 20).
5. Построить график функции.

Теперь, имея информацию о критических точках и интервалах возрастания и убывания, мы можем построить график функции f(x). Он будет иметь максимум в точке (2, 20) и минимум в точке (-1, -7).

Таким образом, мы проанализировали функцию f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x с использованием производной, определив её критические точки, интервалы возрастания и убывания, а также точки экстремума.