Как можно решить неравенство lg(x+1) ≤ 1 - lg(2x-6)?

Математика 11 класс Неравенства с логарифмами неравенство решение неравенства lg(x+1) lg(2x-6) математика 11 класс логарифмы algebra математические задачи неравенства в алгебре Новый

Для решения неравенства lg(x+1) ≤ 1 - lg(2x-6) будем следовать нескольким шагам.

1. Перепишем неравенство: Сначала перенесем все члены в одну сторону:

2. lg(x+1) + lg(2x-6) ≤ 1

3. Используем свойства логарифмов: Сумма логарифмов равна логарифму произведения:

4. lg((x+1)(2x-6)) ≤ 1

5. Переведем неравенство в показательный вид: Поскольку логарифм имеет основание 10, то:

6. (x+1)(2x-6) ≤ 10

7. Раскроем скобки:

8. 2x^2 - 6x + 2x - 6 ≤ 10

9. 2x^2 - 4x - 6 ≤ 10

10. Переносим 10 влево:

11. 2x^2 - 4x - 16 ≤ 0

12. Упрощаем неравенство: Разделим все на 2:

13. x^2 - 2x - 8 ≤ 0

14. Находим корни квадратного уравнения: Используем дискриминант:

15. D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36

16. Корни: x1 = (2 + √36)/2 = 5, x2 = (2 - √36)/2 = -3

17. Запишем неравенство в виде интервала: Неравенство x^2 - 2x - 8 ≤ 0 имеет корни -3 и 5. Теперь определим промежутки:

18. Тестируем промежутки: (-∞, -3), (-3, 5), (5, +∞).

19. На промежутке (-∞, -3) значение будет положительным, на (-3, 5) - отрицательным, на (5, +∞) - положительным.

20. Записываем ответ: Неравенство выполняется на промежутке:

21. -3 ≤ x ≤ 5

22. Проверяем условия: Необходимо, чтобы выражения под логарифмами были положительными:

23. x + 1 > 0 → x > -1

    2x - 6 > 0 → x > 3

24. Сравниваем условия: Условие x > 3 сильнее, чем x ≥ -3.
25. Итог: Решение неравенства:

26. x ∈ (3, 5]

Таким образом, ответ: (3, 5].