Как можно решить неравенство: log5(3x+1) - log5(x-2) <= 0?

Математика 11 класс Неравенства с логарифмами решение неравенства логарифмическое неравенство log5(3x+1) log5(x-2) математические неравенства 11 класс математика Новый

Для решения неравенства log5(3x+1) - log5(x-2) > 0 мы будем использовать свойства логарифмов. Начнем с того, что мы можем воспользоваться правилом разности логарифмов:

log5(a) - log5(b) = log5(a/b). Это позволяет нам переписать неравенство следующим образом:

log5((3x+1)/(x-2)) > 0

Теперь мы знаем, что логарифм положителен тогда и только тогда, когда его аргумент больше 1. Таким образом, мы можем записать следующее неравенство:

(3x + 1)/(x - 2) > 1

Теперь мы решим это неравенство. Начнем с того, что умножим обе стороны на (x - 2), но при этом учтем, что знак неравенства изменится, если (x - 2) < 0:

1. Рассмотрим случай, когда x - 2 > 0 (то есть x > 2). Тогда неравенство остается в том же виде:

(3x + 1) > (x - 2)

2. Упрощаем неравенство:

3x + 1 > x - 2

3. Переносим x в левую часть:

3x - x + 1 > -2

4. Упрощаем:

2x + 1 > -2

5. Вычитаем 1:

2x > -3

6. Делим на 2:

x > -3/2

7. Так как мы рассматриваем случай x > 2, то это условие автоматически выполняется.

Теперь рассмотрим случай, когда x - 2 < 0 (то есть x < 2). В этом случае знак неравенства изменится:

1. Неравенство будет выглядеть так:

(3x + 1) < (x - 2)

2. Упрощаем:

3x + 1 < x - 2

3. Переносим x в левую часть:

3x - x + 1 < -2

4. Упрощаем:

2x + 1 < -2

5. Вычитаем 1:

2x < -3

6. Делим на 2:

x < -3/2

7. Однако, это условие не имеет смысла, так как x < 2.

Таким образом, мы пришли к выводу, что решением нашего неравенства является:

x > 2

Не забудьте проверить область определения логарифмов:

• 3x + 1 > 0, что дает x > -1/3;
• x - 2 > 0, что дает x > 2.

Таким образом, окончательный ответ: x > 2.