Как можно решить неравенство x + 22 < (x + 2)^2?

Математика 11 класс Неравенства решение неравенства неравенство x + 22 математические методы алгебра квадратные выражения свойства неравенств Новый

Чтобы решить неравенство x + 22 < (x + 2)^2, следуем пошагово:

1. Раскроем скобки на правой стороне:

   (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4. Таким образом, неравенство можно переписать как:

   x + 22 < x^2 + 4x + 4.

2. Переносим все члены в одну сторону:

   Переносим x и 22 в правую часть неравенства:

   0 < x^2 + 4x + 4 - x - 22.

   Упрощаем:

   0 < x^2 + 3x - 18.

3. Переписываем неравенство:

   Теперь у нас есть неравенство:

   x^2 + 3x - 18 > 0.

4. Находим корни квадратного уравнения:

   Для этого используем дискриминант:

   D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 1 * (-18) = 9 + 72 = 81.

   Теперь находим корни:

   x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-3 + 9) / 2 = 6 / 2 = 3.

   x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-3 - 9) / 2 = -12 / 2 = -6.

5. Рисуем числовую прямую и определяем интервалы:

   Корни -6 и 3 делят числовую прямую на три интервала:

   • (-∞, -6)
   • (-6, 3)
   • (3, +∞)
6. Проверяем знаки в каждом интервале:
   • Для интервала (-∞, -6): например, x = -7. Подставляем: (-7)^2 + 3*(-7) - 18 = 49 - 21 - 18 = 10 > 0. Знак положительный.
   • Для интервала (-6, 3): например, x = 0. Подставляем: 0^2 + 3*0 - 18 = -18 < 0. Знак отрицательный.
   • Для интервала (3, +∞): например, x = 4. Подставляем: 4^2 + 3*4 - 18 = 16 + 12 - 18 = 10 > 0. Знак положительный.
7. Записываем ответ:

   Неравенство x^2 + 3x - 18 > 0 выполняется на интервалах:

   x < -6 и x > 3.

   Таким образом, окончательный ответ:

   x ∈ (-∞, -6) ∪ (3, +∞).