Как можно решить уравнение -3 + 2,5^x + 5^2x = 0?

Математика 11 класс Уравнения с переменной в показателе уравнение решение уравнения математика 11 класс экспоненциальные уравнения методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения -3 + 2,5^x + 5^2x = 0, давайте начнем с упрощения уравнения и замены переменных.

1. Прежде всего, обратим внимание на выражение 5^2x. Это можно переписать как (5^x)^2. Таким образом, мы можем сделать замену:

• Пусть y = 5^x. Тогда 5^2x = y^2.

2. Теперь перепишем уравнение с новой переменной:

• -3 + 2,5^x + y^2 = 0.

3. Мы также можем выразить 2,5^x через y. Заметим, что 2,5^x = (2*5^x)/2 = (2y)/2 = y*(2/5) = y^(log(2)/log(5)). Однако, проще будет оставить это уравнение в исходной форме и использовать его для дальнейших преобразований.

4. В итоге у нас получается уравнение:

• y^2 + 2,5^x - 3 = 0.

5. Теперь подставим 2,5^x в терминах y:

• y^2 + 2*(y * (log(2)/log(5))) - 3 = 0.

6. Это уравнение является квадратным относительно y. Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

• y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,
• где a = 1, b = 2*(log(2)/log(5)), c = -3.

7. Подставим значения a, b и c в формулу:

• D = b^2 - 4ac = (2*(log(2)/log(5)))^2 - 4*1*(-3).

8. Найдем дискриминант D и, если он положителен, найдем корни уравнения.

9. После нахождения корней y, мы можем вернуться к переменной x, используя y = 5^x. То есть, x = log(y) / log(5).

10. В итоге, мы получим все возможные значения x, которые удовлетворяют исходному уравнению.

Таким образом, основная идея решения заключается в замене переменных и использовании квадратного уравнения. После нахождения корней мы возвращаемся к исходной переменной.