Как можно решить выражение cos(15) + sin(15) / cos(15) - sin(15)? Пожалуйста, дайте подробное объяснение!

Математика 11 класс Тригонометрические выражения и их преобразования решение выражения cos(15) sin(15) математика 11 класс Тригонометрия подробное объяснение математические выражения Новый

Чтобы решить выражение cos(15) + sin(15) / cos(15) - sin(15), давайте сначала разберем его по частям и упростим. Мы можем представить его в виде дроби:

1. Запишем выражение более четко:

(cos(15) + sin(15)) / (cos(15) - sin(15))

2. Теперь мы можем заметить, что в числителе и знаменателе у нас есть выражения с косинусом и синусом. Мы можем использовать формулы для суммы и разности углов, чтобы упростить их.

3. Обратим внимание на числитель:

• cos(15) + sin(15) можно представить в виде:
• sqrt(2) * (cos(15 - 45) = cos(15 - 45) + sin(15 - 45)),
• где 45 - это угол, который мы можем использовать для упрощения.

4. Теперь рассмотрим знаменатель:

• cos(15) - sin(15) можно также представить как:
• sqrt(2) * (cos(15 + 45)).

5. Теперь подставим эти выражения в нашу дробь:

(sqrt(2) * cos(15 - 45)) / (sqrt(2) * cos(15 + 45))

6. Сократим sqrt(2) в числителе и знаменателе:

cos(15 - 45) / cos(15 + 45)

7. Теперь подставим значения углов:

• 15 - 45 = -30,
• 15 + 45 = 60.

8. Таким образом, мы можем записать:

cos(-30) / cos(60)

9. Зная значения косинуса для этих углов, мы получаем:

• cos(-30) = cos(30) = sqrt(3)/2,
• cos(60) = 1/2.

10. Теперь подставим эти значения в дробь:

(sqrt(3)/2) / (1/2)

11. Это можно упростить, умножив на обратное значение:

sqrt(3)/2 * 2/1 = sqrt(3).

12. В итоге, мы получаем окончательный ответ:

Ответ: sqrt(3).

Таким образом, мы шаг за шагом упростили исходное выражение и пришли к окончательному результату.