Чтобы выяснить, в каких промежутках функция возрастает и убывает, а также найти максимумы и минимумы для функции f(x) = -x² + 2x + 3, следуем определённым шагам.

1. Найдем производную функции. Производная функции показывает, как изменяется значение функции при изменении аргумента x. Для функции f(x) = -x² + 2x + 3 производная будет:
• f'(x) = -2x + 2.
2. Найдем критические точки. Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Уравняем производную нулю:
• -2x + 2 = 0
• -2x = -2
• x = 1.
3. Определим знак производной. Теперь мы можем выяснить, в каких промежутках функция возрастает или убывает, исследуя знак производной. Для этого рассмотрим интервалы, которые получаются из критической точки:
• Интервал 1: (-∞, 1)
• Интервал 2: (1, +∞)
4. Выберем тестовые точки из каждого интервала:
• Для интервала (-∞, 1) возьмем, например, x = 0:
• f'(0) = -2(0) + 2 = 2 (положительно), значит, функция возрастает на этом интервале.
• Для интервала (1, +∞) возьмем, например, x = 2:
• f'(2) = -2(2) + 2 = -2 (отрицательно), значит, функция убывает на этом интервале.
5. Сделаем выводы о возрастании и убывании функции:
• Функция возрастает на интервале (-∞, 1).
• Функция убывает на интервале (1, +∞).
6. Найдем максимумы и минимумы функции. Поскольку функция возрастает до x = 1 и убывает после, в точке x = 1 находится максимальное значение функции. Чтобы найти это значение, подставим x = 1 в исходную функцию:
• f(1) = -1² + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4.
7. Итог:
• Максимум функции: (1, 4).
• Функция возрастает на интервале (-∞, 1) и убывает на интервале (1, +∞).