2025-12-02 07:11:46
Как написать уравнения касательной (или полукасательной) и нормали к кривой в заданной точке для следующих случаев:
- a) y = 2^{-x^2} * sin(πx), x_0 = 1;
- b) x(t) = e^{-t} * sin(t), y(t) = e^{-t} * cos(t), t_0 = π/4;
- c) y = x^2 * arcsin(x/2), x_0 = √3;
- d) 2x^4 - y^2 - x^2 + 2y = 0, x_0 = 1/√2;
- e) x^2 - xy + 2y^2 + x - y - 14 = 0, x_0 = 1;
- f) 2^{x/y} + 2^{2y/x} = 6, x_0 = 2, y_0 = 1;
- g) x(t) = t^3 - 3t, y(t) = t^2 + 2t, t_0 = -1; 0; √3.
Математика 11 класс Уравнения касательной и нормали к кривой в заданной точке уравнения касательной уравнения нормали кривая в заданной точке математика 11 класс производная функции нахождение производной задачи по математике анализ функций кривые и касательные математический анализ
2025-12-02 07:12:19
Для нахождения уравнений касательной и нормали к кривой в заданной точке, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим каждый случай по порядку.
a) y = 2^{-x^2} * sin(πx), x_0 = 1- Находим производную функции y по x: y' = d(2^{-x^2} * sin(πx))/dx. Используем правило произведения и цепное правило.
- Вычисляем значение производной в точке x_0 = 1.
- Находим значение функции в точке x_0: y(1).
- Уравнение касательной: y - y(1) = y'(1)(x - 1).
- Уравнение нормали: y - y(1) = -1/y'(1)(x - 1).
- Находим производные x'(t) и y'(t).
- Вычисляем производные в точке t_0 = π/4.
- Находим координаты точки: (x(π/4), y(π/4)).
- Уравнение касательной: (y - y(π/4)) = (y'(π/4) / x'(π/4))(x - x(π/4)).
- Уравнение нормали: (y - y(π/4)) = - (x'(π/4) / y'(π/4))(x - x(π/4)).
- Находим производную y' = d(x^2 * arcsin(x/2))/dx.
- Вычисляем значение производной в точке x_0 = √3.
- Находим значение функции в точке x_0: y(√3).
- Уравнение касательной: y - y(√3) = y'(√3)(x - √3).
- Уравнение нормали: y - y(√3) = -1/y'(√3)(x - √3).
- Находим производную y' с помощью неявной функции: 4x^3 - 2y*y' - 2x + 2y' = 0.
- Решаем уравнение для y': y' = (4x^3 - 2x) / (2y - 2).
- Находим значение y в точке x_0 = 1/√2.
- Вычисляем производную в этой точке.
- Уравнения касательной и нормали аналогично предыдущим случаям.
- Находим производную y' с помощью неявной функции: 2x - y - x*y' + 4y*y' + 1 - y' = 0.
- Решаем для y': y' = (2x - y + 1) / (x - 4y).
- Находим значение y в точке x_0 = 1.
- Вычисляем производную в этой точке.
- Уравнения касательной и нормали.
- Находим производные x' и y' с помощью неявной функции.
- Решаем уравнение для y' в точке (2, 1).
- Находим значение y в этой точке.
- Вычисляем производную.
- Уравнения касательной и нормали.
- Находим производные x'(t) и y'(t).
- Вычисляем производные в точках t_0 = -1, 0, √3.
- Находим координаты точек для каждого t_0.
- Уравнения касательных и нормалей для каждой точки.
Таким образом, для каждого случая мы можем получить уравнения касательной и нормали, следуя указанным шагам. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение по какому-то из пунктов, не стесняйтесь спрашивать!