Как найти частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет заданным начальным условиям?

• Уравнение: y" - 6y' - 25y = 9sin(4x) - 24cos(4x)
• Начальные условия: y(0) = 2, y'(0) = -2

Математика 11 класс Дифференциальные уравнения частное решение Дифференциальное уравнение начальные условия математика y" y' 9sin(4x) 24cos(4x) Новый

Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка с заданными начальными условиями, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найти общее решение однородного уравнения

Сначала мы решим однородное уравнение, которое получается, если правая часть уравнения равна нулю:

y" - 6y' - 25y = 0

Для этого найдем характеристическое уравнение:

r^2 - 6r - 25 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 1 * (-25) = 36 + 100 = 136

Теперь найдем корни:

• r1 = (6 + sqrt(136)) / 2
• r2 = (6 - sqrt(136)) / 2

Обозначим корни как r1 и r2. Общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

y_h = C1 * e^(r1 * x) + C2 * e^(r2 * x), где C1 и C2 - произвольные константы.

Шаг 2: Найти частное решение неоднородного уравнения

Теперь найдем частное решение для неоднородного уравнения:

y" - 6y' - 25y = 9sin(4x) - 24cos(4x)

Для этого мы используем метод вариации параметров или метод подбора. В данном случае, поскольку правая часть включает синусы и косинусы, предположим, что частное решение имеет вид:

y_p = A * sin(4x) + B * cos(4x), где A и B - константы, которые мы найдем.

Теперь найдем производные:

• y_p' = 4A * cos(4x) - 4B * sin(4x)
• y_p'' = -16A * sin(4x) - 16B * cos(4x)

Подставим y_p, y_p', y_p'' в исходное уравнение и упростим его, чтобы найти A и B.

Шаг 3: Сложить общее решение

Общее решение будет равно:

y = y_h + y_p

Шаг 4: Применить начальные условия

Теперь, когда у нас есть общее решение, мы можем применить начальные условия:

• y(0) = 2
• y'(0) = -2

Подставим x = 0 в общее решение и его производную, чтобы получить систему уравнений для нахождения C1 и C2.

Шаг 5: Решение системы уравнений

Решив полученную систему уравнений, мы найдем значения констант C1 и C2, а затем подставим их обратно в общее решение, чтобы получить частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Таким образом, вы получите искомое частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.