Для решения данного дифференциального уравнения начнем с его приведения к стандартному виду. Уравнение имеет вид:

(x^3 - 1)y' = 3x^2y.

Мы можем переписать его в виде:

y' = (3x^2y) / (x^3 - 1).

Это уравнение является уравнением в виде y' = f(x, y), где f(x, y) = (3x^2y) / (x^3 - 1). Чтобы решить его, воспользуемся методом разделения переменных.

Шаг 1: Разделим переменные.

Мы можем выразить y' как:

y' = (3x^2 / (x^3 - 1))y.

Теперь разделим переменные:

(1/y) dy = (3x^2 / (x^3 - 1)) dx.

Шаг 2: Интегрируем обе стороны.

Теперь интегрируем обе стороны:

∫(1/y) dy = ∫(3x^2 / (x^3 - 1)) dx.

Левая сторона интеграла дает:

ln|y|.

Теперь сосредоточимся на правой стороне. Для интегрирования правой части воспользуемся методом подстановки. Пусть u = x^3 - 1, тогда du = 3x^2 dx. Таким образом, интеграл становится:

∫(1/u) du = ln|u| = ln|x^3 - 1|.

Теперь у нас есть:

ln|y| = ln|x^3 - 1| + C, где C - постоянная интегрирования.

Шаг 3: Найдем общее решение.

Возводим обе стороны в степень:

|y| = e^(ln|x^3 - 1| + C) = |x^3 - 1| * e^C.

Обозначим e^C как K (постоянная). Таким образом, общее решение будет иметь вид:

y = K * (x^3 - 1).

Шаг 4: Найдем частное решение с учетом начальных условий.

Теперь нам нужно найти значение K, используя начальные условия y(2) = 7. Подставим x = 2 в общее решение:

7 = K * (2^3 - 1) = K * (8 - 1) = K * 7.

Отсюда:

K = 7 / 7 = 1.

Шаг 5: Подставим значение K в общее решение.

Таким образом, частное решение будет:

y = 1 * (x^3 - 1) = x^3 - 1.

Итак, общее решение: y = K * (x^3 - 1),

частное решение: y = x^3 - 1.