Для решения данного дифференциального уравнения мы можем использовать метод разделения переменных. Уравнение имеет вид:

(x^3 - 1)y' = 3x^2y.

Сначала перепишем его в более удобной форме:

y' = (3x^2 / (x^3 - 1))y.

Теперь мы можем разделить переменные, то есть выразить все, что связано с y, с одной стороны, а все, что связано с x, с другой:

dy/y = (3x^2 / (x^3 - 1))dx.

Теперь интегрируем обе стороны:

1. Слева: ∫(1/y) dy = ln|y| + C1.
2. Справа: ∫(3x^2 / (x^3 - 1)) dx.

Для интегрирования правой части нам нужно упростить дробь. Мы можем сделать замену переменной. Заметим, что производная x^3 - 1 равна 3x^2, поэтому можно использовать замену:

u = x^3 - 1, du = 3x^2 dx.

Тогда интеграл становится:

∫(1/u) du = ln|u| + C2 = ln|x^3 - 1| + C2.

Теперь подставляем полученные интегралы обратно в уравнение:

ln|y| = ln|x^3 - 1| + C.

Где C = C2 - C1. Теперь, используя свойства логарифмов, мы можем избавиться от логарифмов:

|y| = e^(ln|x^3 - 1| + C) = |x^3 - 1| * e^C.

Обозначим e^C как K (постоянная). Таким образом, мы получаем:

y = K(x^3 - 1).

Это общее решение нашего дифференциального уравнения.

Теперь найдем частное решение, используя начальные условия: y = 7, x = 2.

Подставим эти значения в общее решение:

7 = K(2^3 - 1) = K(8 - 1) = K * 7.

Отсюда K = 1.

Теперь подставим K обратно в общее решение:

y = 1(x^3 - 1) = x^3 - 1.

Таким образом, общее решение: y = K(x^3 - 1), а частное решение: y = x^3 - 1.